Questão 5 (Justifique todas as suas respostas): ( 2,0 ).
(a) Considere
uma função tal que
e
.
(i) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
em
.
(ii) Determine o ponto de interseção da reta do item anterior com o eixo-
.
(b) Sabendo que a reta
é tangente ao gráfico da
em
:
(i) Determine
.
(ii) Determine
.
(iii) Determine
.
(a) Considere
(i) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
(ii) Determine o ponto de interseção da reta do item anterior com o eixo-
(b) Sabendo que a reta
(i) Determine
(ii) Determine
(iii) Determine
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Para a função
: e . - A reta
é tangente ao gráfico de em .
- Para a função
-
Perguntas:
- (a)(i) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
em . - (a)(ii) Determinar o ponto de interseção dessa reta com o eixo-
. - (b)(i) Determinar
. - (b)(ii) Determinar
. - (b)(iii) Determinar
.
- (a)(i) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 2
Entender o que é a reta tangente e como escrevê-la (aula rápida).
- A derivada
é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de no ponto . Em termos práticos, a equação da reta tangente em é dada pela fórmula ponto-inclinação:
- Nesta fórmula:
-
é a ordenada do ponto de tangência. -
é a inclinação da reta tangente. -
desloca o ponto de referência para a abscissa .
-
Vou usar essa fórmula para responder (a)(i).
Passo 3
Calcular a reta tangente em
usando a fórmula.
- Substituindo
, e na fórmula:
- Simplificando:
Portanto a equação da reta tangente em
é
Passo 4
Determinar o ponto de interseção dessa reta com o eixo-
.
- Interseção com o eixo-
é o ponto onde . Para a reta resolvemos:
- A coordenada no eixo-
é . Logo o ponto de interseção é
Passo 5
Usar a informação de que
é tangente ao gráfico de
em
para obter
.
- Se uma reta é tangente ao gráfico no ponto
, então o ponto pertence à reta. Assim é o valor da reta em :
Portanto
Passo 6
Determinar
a partir da reta tangente.
- O coeficiente angular da reta tangente é a derivada no ponto. A reta dada é
, cujo coeficiente angular é . Assim:
Passo 7
Determinar
e justificar por que vale isso.
- Uma função diferenciável em
é necessariamente contínua em . Ter derivada em (ou seja, existir reta tangente com declive finito) implica que
- Como já determinamos
, segue que tanto o limite pela direita quanto o pela esquerda valem . Em particular:
Breve justificativa técnica (uma pequena prova): escrevendo
Ao fazer
, o quociente
tende a
(por definição de derivada) e
. Logo
, o que mostra
. Assim o limite à direita também é
.
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(b)(i)
(b)(ii)
(b)(iii)
(a)(ii)
(b)(i)
(b)(ii)
(b)(iii)