Questão 5 (Justifique todas as suas respostas): ( 2,0 ).
(a) Considere f uma função tal que f(2)=3 e f^{\prime}(2)=1.
(i) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f em x=2.
(ii) Determine o ponto de interseção da reta do item anterior com o eixo- x.
(b) Sabendo que a reta y=4 x-2 é tangente ao gráfico da f em x=3 :
(i) Determine f(3).
(ii) Determine f^{\prime}(3).
(iii) Determine \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Para a função f: f(2)=3 e f'(2)=1.
    • A reta y=4x-2 é tangente ao gráfico de f em x=3.
  • Perguntas:
    • (a)(i) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=2.
    • (a)(ii) Determinar o ponto de interseção dessa reta com o eixo- x.
    • (b)(i) Determinar f(3).
    • (b)(ii) Determinar f'(3).
    • (b)(iii) Determinar \lim_{x\to 3^{+}} f(x).

Passo 2

Entender o que é a reta tangente e como escrevê-la (aula rápida).
  • A derivada f'(a) é a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=a. Em termos práticos, a equação da reta tangente em x=a é dada pela fórmula ponto-inclinação:
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
  • Nesta fórmula:
    • f(a) é a ordenada do ponto de tangência.
    • f'(a) é a inclinação da reta tangente.
    • x-a desloca o ponto de referência para a abscissa a.
Vou usar essa fórmula para responder (a)(i).

Passo 3

Calcular a reta tangente em x=2 usando a fórmula.
  • Substituindo a=2, f(2)=3 e f'(2)=1 na fórmula:
y = f(2) + f'(2)\,(x-2).
y = 3 + 1\,(x-2).
  • Simplificando:
y = 3 + x - 2,
y = x + 1.
Portanto a equação da reta tangente em x=2 é \,y = x + 1.

Passo 4

Determinar o ponto de interseção dessa reta com o eixo- x.
  • Interseção com o eixo- x é o ponto onde y=0. Para a reta \,y = x + 1 resolvemos:
0 = x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
  • A coordenada no eixo- x é (-1,0). Logo o ponto de interseção é \,(-1,0).

Passo 5

Usar a informação de que \,y=4x-2 é tangente ao gráfico de f em x=3 para obter f(3).
  • Se uma reta é tangente ao gráfico no ponto x=3, então o ponto (3,f(3)) pertence à reta. Assim f(3) é o valor da reta em x=3:
f(3)=4\cdot 3 - 2.
f(3)=12-2=10.
Portanto \,f(3)=10.

Passo 6

Determinar f'(3) a partir da reta tangente.
  • O coeficiente angular da reta tangente é a derivada no ponto. A reta dada é \,y=4x-2, cujo coeficiente angular é 4. Assim:
f'(3)=4.

Passo 7

Determinar \lim_{x\to 3^{+}} f(x) e justificar por que vale isso.
  • Uma função diferenciável em x=3 é necessariamente contínua em x=3. Ter derivada em 3 (ou seja, existir reta tangente com declive finito) implica que
\lim_{x\to 3} f(x) = f(3).
  • Como já determinamos \,f(3)=10, segue que tanto o limite pela direita quanto o pela esquerda valem 10. Em particular:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x) = 10.
Breve justificativa técnica (uma pequena prova): escrevendo
f(x)-f(3)=\frac{f(x)-f(3)}{x-3}\,(x-3).
Ao fazer x\to 3, o quociente \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} tende a f'(3) (por definição de derivada) e (x-3)\to 0. Logo f(x)-f(3)\to f'(3)\cdot 0 = 0, o que mostra \lim_{x\to 3} f(x)=f(3). Assim o limite à direita também é f(3)=10.

Resposta

(a)(i) y = x + 1
(a)(ii) (-1,0)
(b)(i) f(3)=10
(b)(ii) f'(3)=4
(b)(iii) \displaystyle \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=10

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