Calcule as seguintes integrais indefinidas
\int(x+1)^{7} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (x+1)^{7}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função a integrar é (x+1)^{7}.
  • É uma integral indefinida (portanto a resposta deve conter a constante de integração C).
  • A variável de integração é x.

Passo 2

Sugestão de mudança de variável (substituição simples): observe que a expressão tem uma potência de uma expressão linear (x+1). Vamos facilitar a conta definindo uma nova variável
u = x+1.
Isto transforma o interior da potência em u. Agora calcule a diferencial de u:
du = dx.
Ou seja, dx pode ser substituído por du sem fatores extras porque a derivada de x+1 em relação a x é 1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int (x+1)^{7}\,dx = \int u^{7}\,du.
Essa transformação simplificou a integral para uma potência pura de u.

Passo 4

Aplicar a regra do poder para integrais: para todo n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação rápida do porquê: derivando \dfrac{u^{n+1}}{n+1} obtém-se
\frac{d}{du}\left(\frac{u^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{n+1}{n+1}u^{n}=u^{n},
logo essa primitiva é correta.

Passo 5

Aplicando a fórmula com n=7:
\int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8} + C.

Passo 6

Volte à variável original x fazendo u=x+1. Assim a primitiva da integral original é
\frac{(x+1)^{8}}{8} + C.

Passo 7

Checagem rápida (diferenciação): derivando \dfrac{(x+1)^{8}}{8} em relação a x obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^{8}}{8}\right)=\frac{8(x+1)^{7}}{8}=(x+1)^{7},
que é exatamente o integrando. Logo a resposta está correta.

Resposta

\dfrac{(x+1)^{8}}{8}+C

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