O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio 4 e uma condição de contorno na circunferência externa. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
O objetivo é encontrar a solução u(r,\theta) que satisfaça a equação de Laplace dentro do disco e que assuma o valor \theta na circunferência de raio r_{0}.
Não começo a resolver aqui; só organizei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Estratégia (separação de variáveis) e forma geral das soluções. Vou explicar passo a passo o que é usado e por quê.
Procuramos soluções por separação de variáveis, isto é, suposições do tipo
u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na PDE e dividindo por R\Theta obtém-se a separação
Da condição de contorno em \theta (função no intervalo 0\le\theta\le2\pi) precisamos que \Theta seja 2\pi-periódica (funções em \theta para representar dados na circunferência). As soluções periódicas levam a valores discretos de \lambda:
\lambda = n^{2},\qquad n=0,1,2,\dots
com soluções \Theta(\theta)=\cos(n\theta) e \sin(n\theta) para n\ge1, e \Theta= constante para n=0.
As equações radiais correspondentes são, para cada n:
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0.
As soluções fundamentais são r^{n} e r^{-n} para n\ge1. Para n=0 a solução geral é R(r)=A_0+B_0\ln r.
Portanto a forma geral (somatória de modos) é
u(r,\theta)=A_{0}+B_{0}\ln r +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( r^{n}\bigl(A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)\bigr) +r^{-n}\bigl(C_{n}\cos(n\theta)+D_{n}\sin(n\theta)\bigr)\Bigr).
Passo 3
Escolha dos termos usando regularidade e unicidade. Explico por que podemos eliminar algumas constantes.
No interior do disco queremos solução que não exploda no centro r=0. O termo B_{0}\ln r diverge quando r\to0, e os termos com r^{-n} também divergem para n\ge1. Se exigirmos solução limitada em r=0, então
B_{0}=0,\qquad C_{n}=D_{n}=0\quad\text{para todos }n\ge1.
(Se o problema fosse num anel punteado onde o centro está excluído, poderíamos manter termos r^{-n}; aqui tomamos a hipótese usual de regularidade no centro.)
Com essas eliminações, a forma regular em r=0 fica
Expliquei tudo: o fator \bigl(r/r_{0}\bigr)^{n} aparece porque a dependência radial é r^{n} e deve ser ajustada para dar o coeficiente correto na fronteira r=r_{0}.
Passo 6
Forma fechada (opcional) e interpretação. Vou mostrar uma expressão equivalente em termos de log/argumento complexos, útil para visualizar a soma.
Considere 0\le r<r_{0} e defina \rho=\dfrac{r}{r_{0}} (assim |\rho|<1). Use a série complexa
Essa expressão e a série são equivalentes para 0\le r<r_{0}. É uma forma contínua para 0<\theta<2\pi e tem o comportamento de “sawtooth” angular na borda r=r_{0}.
Passo 7
Comentário sobre unicidade e regularidade (motivacional e prático para prova).
A equação de Laplace com condição de Dirichlet no disco tem solução única entre as funções harmônicas limitadas no interior. Logo a solução encontrada é a única solução regular no centro que satisfaz u(r_{0},\theta)=\theta.
Na prática de prova: o procedimento padrão é (i) separar variáveis; (ii) escrever a forma geral dos modos radiais; (iii) exigir regularidade em r=0 (eliminar termos divergentes); (iv) expandir o dado de contorno em série de Fourier; (v) igualar coeficientes. Repete isso calmamente e você resolve qualquer problema similar.