Questão 9.
\begin{cases}u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0 & 0<r<4 \quad \text { e } \quad 0<\theta<2 \pi \\\ u\left(r_{0}, \theta\right)=\theta & 0 \leq \theta \leq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio 4 e uma condição de contorno na circunferência externa. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
  • Equação dada:
u_{r r}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0, \qquad 0<r<4,\quad 0<\theta<2\pi.
  • Condição de contorno na borda (nota: o enunciado usa r_{0}; como o domínio vai até r=4, tomarei r_{0}=4):
u\bigl(r_{0},\theta\bigr)=\theta,\qquad 0\le\theta\le2\pi.
  • O objetivo é encontrar a solução u(r,\theta) que satisfaça a equação de Laplace dentro do disco e que assuma o valor \theta na circunferência de raio r_{0}.
Não começo a resolver aqui; só organizei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia (separação de variáveis) e forma geral das soluções. Vou explicar passo a passo o que é usado e por quê.
  1. Procuramos soluções por separação de variáveis, isto é, suposições do tipo
u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na PDE e dividindo por R\Theta obtém-se a separação
\frac{r^{2}R''(r)+rR'(r)}{R(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = 0.
Cada parcela depende de uma única variável, logo ambas devem ser iguais a uma constante real -\lambda. Assim obtemos os dois EDOs:
\Theta''+\lambda\Theta=0, \qquad r^{2}R''+rR'-\lambda R=0.
  1. Da condição de contorno em \theta (função no intervalo 0\le\theta\le2\pi) precisamos que \Theta seja 2\pi-periódica (funções em \theta para representar dados na circunferência). As soluções periódicas levam a valores discretos de \lambda:
\lambda = n^{2},\qquad n=0,1,2,\dots
com soluções \Theta(\theta)=\cos(n\theta) e \sin(n\theta) para n\ge1, e \Theta= constante para n=0.
  1. As equações radiais correspondentes são, para cada n:
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0.
As soluções fundamentais são r^{n} e r^{-n} para n\ge1. Para n=0 a solução geral é R(r)=A_0+B_0\ln r.
Portanto a forma geral (somatória de modos) é
u(r,\theta)=A_{0}+B_{0}\ln r +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( r^{n}\bigl(A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)\bigr) +r^{-n}\bigl(C_{n}\cos(n\theta)+D_{n}\sin(n\theta)\bigr)\Bigr).

Passo 3

Escolha dos termos usando regularidade e unicidade. Explico por que podemos eliminar algumas constantes.
  1. No interior do disco queremos solução que não exploda no centro r=0. O termo B_{0}\ln r diverge quando r\to0, e os termos com r^{-n} também divergem para n\ge1. Se exigirmos solução limitada em r=0, então
B_{0}=0,\qquad C_{n}=D_{n}=0\quad\text{para todos }n\ge1.
(Se o problema fosse num anel punteado onde o centro está excluído, poderíamos manter termos r^{-n}; aqui tomamos a hipótese usual de regularidade no centro.)
  1. Com essas eliminações, a forma regular em r=0 fica
u(r,\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\bigl(A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)\bigr).
A tarefa agora é escolher os coeficientes A_{0},A_{n},B_{n} para que a condição de contorno em r=r_{0} seja satisfeita.

Passo 4

Expansão em série de Fourier da condição de contorno u(r_{0},\theta)=\theta. Vou calcular os coeficientes de Fourier passo a passo.
Defina f(\theta)=\theta para 0\le\theta\le2\pi. Queremos a expansão em série de Fourier periódica de período 2\pi:
f(\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(n\theta)+b_{n}\sin(n\theta)\bigr),
onde
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta, \qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta,
e
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\,d\theta.
Calcule a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta\,d\theta =\frac{1}{\pi}\left[\tfrac{\theta^{2}}{2}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(2\pi)^{2}}{2}=2\pi.
Logo o termo médio é \dfrac{a_{0}}{2}=\pi.
Calcule a_{n} para n\ge1 (integração por partes). Com u=\theta, dv=\cos(n\theta)\,d\theta temos
a_{n}=\frac{1}{\pi}\Bigl[\theta\cdot\frac{\sin(n\theta)}{n}\Bigr]_{0}^{2\pi} -\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(n\theta)}{n}\,d\theta.
O termo de fronteira é zero porque \sin(n\cdot0)=\sin(n\cdot2\pi)=0. A integral de \sin(n\theta) em um período é zero. Portanto
a_{n}=0\qquad\text{para todo }n\ge1.
Calcule b_{n} para n\ge1 (integração por partes). Com u=\theta, dv=\sin(n\theta)\,d\theta temos
b_{n}=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\theta\cdot\frac{\cos(n\theta)}{n}\Bigr]_{0}^{2\pi} +\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(n\theta)}{n}\,d\theta.
O segundo termo é \dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{\sin(n\theta)}{n^{2}}\Big|_{0}^{2\pi}=0. O termo de fronteira vale
\frac{1}{\pi}\left(-\frac{2\pi\cos(2\pi n)}{n} + 0\right) =\frac{1}{\pi}\left(-\frac{2\pi\cdot 1}{n}\right)=-\frac{2}{n}.
Portanto
b_{n}=-\frac{2}{n}\qquad (n\ge1).
Conclusão: a série de Fourier de f(\theta)=\theta é a conhecida série “serrote”:
\theta = \pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\theta), \qquad 0<\theta<2\pi,
onde o valor nos pontos de descontinuidade (0 e 2\pi) toma o valor médio =\pi.

Passo 5

Imposição da condição de contorno e determinação dos coeficientes radiais.
Na borda r=r_{0} (com r_{0}=4) queremos
u(r_{0},\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} r_{0}^{n}\bigl(A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta)\bigr) =\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\theta).
Comparando termo a termo (coeficientes das funções ortogonais \cos(n\theta) e \sin(n\theta)) obtemos:
  • Do termo constante: A_{0}=\pi.
  • Para cada n\ge1: A_{n}r_{0}^{n}=0 \Rightarrow A_{n}=0.
  • Para cada n\ge1: B_{n}r_{0}^{n}=-\dfrac{2}{n} \Rightarrow B_{n}=-\dfrac{2}{n r_{0}^{n}}.
Assim a solução regular em r=0 que satisfaz a condição em r=r_{0} é
u(r,\theta)=\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n}\sin(n\theta).
Expliquei tudo: o fator \bigl(r/r_{0}\bigr)^{n} aparece porque a dependência radial é r^{n} e deve ser ajustada para dar o coeficiente correto na fronteira r=r_{0}.

Passo 6

Forma fechada (opcional) e interpretação. Vou mostrar uma expressão equivalente em termos de log/argumento complexos, útil para visualizar a soma.
Considere 0\le r<r_{0} e defina \rho=\dfrac{r}{r_{0}} (assim |\rho|<1). Use a série complexa
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho^{n}e^{in\theta}}{n}=-\ln\bigl(1-\rho e^{i\theta}\bigr),
válida para |\rho|<1. Tomando a parte imaginária dessa igualdade, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho^{n}\sin(n\theta)}{n}=-\Im\bigl(\ln(1-\rho e^{i\theta})\bigr).
Portanto a soma encontrada no passo anterior pode ser escrita como
u(r,\theta)=\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\rho^{n}\sin(n\theta)}{n} =\pi +2\,\Im\!\bigl(\ln(1-\rho e^{i\theta})\bigr).
Usando a representação por arco-tangente para a parte imaginária do log, uma forma real mais explícita é
u(r,\theta)=\pi -2\,\arctan\!\left(\frac{\rho\sin\theta}{1-\rho\cos\theta}\right), \qquad \rho=\frac{r}{r_{0}}.
Essa expressão e a série são equivalentes para 0\le r<r_{0}. É uma forma contínua para 0<\theta<2\pi e tem o comportamento de “sawtooth” angular na borda r=r_{0}.

Passo 7

Comentário sobre unicidade e regularidade (motivacional e prático para prova).
  • A equação de Laplace com condição de Dirichlet no disco tem solução única entre as funções harmônicas limitadas no interior. Logo a solução encontrada é a única solução regular no centro que satisfaz u(r_{0},\theta)=\theta.
  • Na prática de prova: o procedimento padrão é (i) separar variáveis; (ii) escrever a forma geral dos modos radiais; (iii) exigir regularidade em r=0 (eliminar termos divergentes); (iv) expandir o dado de contorno em série de Fourier; (v) igualar coeficientes. Repete isso calmamente e você resolve qualquer problema similar.

Resposta

u(r,\theta)=\pi - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n}\sin(n\theta)
\text{equivalentemente:}\qquad u(r,\theta)=\pi -2\,\arctan\!\left(\frac{\dfrac{r}{r_{0}}\sin\theta}{1-\dfrac{r}{r_{0}}\cos\theta}\right)

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