Questão 6. Se a lei de velocidade da reação a \mathrm{~A} \rightarrow Produtos é dada pela expressão v=k[\mathrm{~A}]^{2}, obtenha uma expressão matemática que mostre como v varia em função do tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de velocidade
v = k[\mathrm{A}]^{2},
para a reação \mathrm{a}\\ \mathrm{A} \rightarrow produtos, e pede uma expressão que mostre como v varia no tempo. Informação importante a extrair e definir agora:
  • v é a velocidade da reação (unidades dependem de k e de [\mathrm{A}]).
  • k é a constante de velocidade (assumimos constante no tempo).
  • [\mathrm{A}] é a concentração da espécie A em função do tempo, ou seja [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}](t).
  • \mathrm{a} (letra minúscula) é o coeficiente estequiométrico do reagente A na equação química.
  • A relação entre a velocidade da reação v e a variação temporal da concentração de A é, por definição,
v = -\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt},
onde o sinal negativo aparece porque [\mathrm{A}] diminui com o tempo.
Objetivo final: obter v como função explícita do tempo t, ou seja v(t).

Passo 2

Escrever a equação diferencial que relaciona [\mathrm{A}](t) com t, combinando a definição de v e a lei de velocidade dada.
Começando de
v = -\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}
e substituindo a lei v = k[\mathrm{A}]^{2}, obtém-se
-\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = k[\mathrm{A}]^{2}.
Multiplicando ambos os lados por -\mathrm{a}:
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -\mathrm{a}k[\mathrm{A}]^{2}.
Esta é uma equação diferencial ordinária separável para [\mathrm{A}](t). Vou explicar o que significa cada termo:
  • \frac{d[\mathrm{A}]}{dt} é a velocidade de variação da concentração de A em função do tempo.
  • O sinal negativo mostra que [\mathrm{A}] decresce.
  • O fator \mathrm{a}k é apenas uma constante positiva (assumindo k>0 e \mathrm{a}>0) que escala a rapidez do decaimento.

Passo 3

Resolver a EDO por separação de variáveis. A ideia é colocar todos os termos com [\mathrm{A}] de um lado e t do outro, e integrar.
Separando:
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^{2}} = -\mathrm{a}k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Considere a condição inicial [\mathrm{A}](0) = [\mathrm{A}]_{0}, que é a concentração no tempo t=0. Integrando com limites:
\int_{[\mathrm{A}]_{0}}^{[\mathrm{A}](t)} \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^{2}} = \int_{0}^{t} -\mathrm{a}k\,dt.

Passo 4

Calcular as integrais e manipular algebricamente.
A integral à esquerda é simples:
\int \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^{2}} = -\frac{1}{[\mathrm{A}]} + C.
Aplicando os limites:
\left(-\frac{1}{[\mathrm{A}]}\right)\Bigg|_{[\mathrm{A}]_{0}}^{[\mathrm{A}](t)} = -\frac{1}{[\mathrm{A}](t)} + \frac{1}{[\mathrm{A}]_{0}}.
A integral à direita dá
\int_{0}^{t} -\mathrm{a}k\,dt = -\mathrm{a}k t.
Igualando os dois lados:
-\frac{1}{[\mathrm{A}](t)} + \frac{1}{[\mathrm{A}]_{0}} = -\mathrm{a}k t.
Rearranjando para 1/[\mathrm{A}](t):
\frac{1}{[\mathrm{A}](t)} = \mathrm{a}k t + \frac{1}{[\mathrm{A}]_{0}}.

Passo 5

Isolar [\mathrm{A}](t) e verificar a condição inicial.
Invertendo:
[\mathrm{A}](t) = \frac{1}{\mathrm{a}k t + \dfrac{1}{[\mathrm{A}]_{0}}} = \frac{[\mathrm{A}]_{0}}{1 + \mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t}.
Verificação rápida: em t=0 a expressão dá [\mathrm{A}](0) = [\mathrm{A}]_{0}, certinho. A forma mostra que a concentração decai com o tempo e que a escala temporal é dada por (\mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0})^{-1}.

Passo 6

Agora obter v(t) substituindo [\mathrm{A}](t) na lei de velocidade v = k[\mathrm{A}]^{2}.
Substituindo [\mathrm{A}](t):
v(t) = k\bigl([\mathrm{A}](t)\bigr)^{2} = k\left(\frac{[\mathrm{A}]_{0}}{1 + \mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t}\right)^{2}.
Podemos escrever de forma mais compacta como
v(t)=\frac{k\,[\mathrm{A}]_{0}^{2}}{\bigl(1+\mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t\bigr)^{2}}.
Também é útil notar que v(0)=k[\mathrm{A}]_{0}^{2}, então
v(t)=\frac{v(0)}{\bigl(1+\mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t\bigr)^{2}}.

Resposta

v(t)=\frac{k\,[\mathrm{A}]_{0}^{2}}{\bigl(1+\mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t\bigr)^{2}}

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