Questão 6. Se a lei de velocidade da reação a \mathrm{~A} \rightarrow Produtos é dada pela expressão v=k[\mathrm{~A}]^{2}, obtenha uma expressão matemática que mostre como v varia em função do tempo.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de velocidade
v = k[\mathrm{A}]^{2},
para a reação \mathrm{a}\\ \mathrm{A} \rightarrow produtos, e pede uma expressão que mostre como v varia no tempo. Informação importante a extrair e definir agora:
v é a velocidade da reação (unidades dependem de k e de [\mathrm{A}]).
k é a constante de velocidade (assumimos constante no tempo).
[\mathrm{A}] é a concentração da espécie A em função do tempo, ou seja [\mathrm{A}]=[\mathrm{A}](t).
\mathrm{a} (letra minúscula) é o coeficiente estequiométrico do reagente A na equação química.
A relação entre a velocidade da reação v e a variação temporal da concentração de A é, por definição,
v = -\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt},
onde o sinal negativo aparece porque [\mathrm{A}] diminui com o tempo.
Objetivo final: obter v como função explícita do tempo t, ou seja v(t).
Passo 2
Escrever a equação diferencial que relaciona [\mathrm{A}](t) com t, combinando a definição de v e a lei de velocidade dada.
Começando de
v = -\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}
e substituindo a lei v = k[\mathrm{A}]^{2}, obtém-se
Agora integramos ambos os lados. Considere a condição inicial [\mathrm{A}](0) = [\mathrm{A}]_{0}, que é a concentração no tempo t=0. Integrando com limites:
-\frac{1}{[\mathrm{A}](t)} + \frac{1}{[\mathrm{A}]_{0}} = -\mathrm{a}k t.
Rearranjando para 1/[\mathrm{A}](t):
\frac{1}{[\mathrm{A}](t)} = \mathrm{a}k t + \frac{1}{[\mathrm{A}]_{0}}.
Passo 5
Isolar [\mathrm{A}](t) e verificar a condição inicial.
Invertendo:
[\mathrm{A}](t) = \frac{1}{\mathrm{a}k t + \dfrac{1}{[\mathrm{A}]_{0}}} = \frac{[\mathrm{A}]_{0}}{1 + \mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0}t}.
Verificação rápida: em t=0 a expressão dá [\mathrm{A}](0) = [\mathrm{A}]_{0}, certinho. A forma mostra que a concentração decai com o tempo e que a escala temporal é dada por (\mathrm{a}k[\mathrm{A}]_{0})^{-1}.
Passo 6
Agora obter v(t) substituindo [\mathrm{A}](t) na lei de velocidade v = k[\mathrm{A}]^{2}.