Questão 7. Para a reação
Produtos, mostre que a lei de velocidade
integra para
Passo 1
O enunciado dá a reação
Produtos e a lei de velocidade
O objetivo é integrar essa lei (isto é, obter uma relação explícita envolvendo
,
,
,
,
e
) e mostrar a expressão
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes estequiométricos:
e . - Concentrações iniciais:
e . - Concentrações no tempo
: e . - Lei de velocidade em função das concentrações instantâneas:
.
Nada mais é exigido: precisamos integrar a equação diferencial apropriada e manipular algebricamente até obter a expressão pedida.
Passo 2
Primeiro traduzimos a cinética em termos da extensão de reação, que facilita relacionar
e
. Defina a extensão
tal que, a cada avanço
, as concentrações mudam conforme:
A velocidade da reação como avanço por unidade de tempo é
. Tomamos
(isto é, a lei
dá a taxa de avanço
):
As taxas de consumo das espécies resultam em
(Essa escolha é consistente:
diminui conforme
vezes o avanço.)
Passo 3
Queremos uma equação diferencial só em
. Usamos a relação entre
e
obtida a partir das expressões com
. Eliminando
:
É conveniente definir a constante
Multiplicando a expressão anterior por
obtemos
ou seja
Substituindo em
e usando
obtemos uma equação só em
:
Passo 4
Agora separamos variáveis para integrar:
Iremos integrar ambos os lados do tempo
a
correspondendo a
a
:
Passo 5
Para calcular a integral do lado esquerdo usamos frações parciais. Seja
. Queremos decompor
Multiplicando por
dá
Agrupando potências de
:
Comparando coeficientes (termos em
,
e constante) obtemos o sistema
Resolve-se facilmente:
(Verifique substituindo de volta; os sinais e dependência em
e
batem.)
Passo 6
Com os coeficientes, a integral torna-se
Integramos termo a termo:
Substituindo
:
Agora aplicamos os limites de
a
:
Isto é,
Reagrupe os termos:
Passo 7
Finalmente substituímos
e usamos a identidade já vista
(válida tanto no tempo
quanto em
). Assim
e o fator
se cancela dentro do logaritmo quando fazemos a razão. Portanto a expressão fica exatamente
que é a forma pedida.