Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros
:
b) Antissimetria e Transitividade: Se
e
, então
. Se
e
, então
.
b) Antissimetria e Transitividade: Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, ambas para inteiros
:
- Provar a propriedade chamada antissimetria: se
e , então . - Provar a propriedade chamada transitividade: se
e , então .
Informações dadas que usaremos:
- As variáveis
são inteiros. - Usaremos a definição padrão da ordem nos inteiros:
significa que a diferença é um inteiro não-negativo (ou seja, existe um número natural com tal que ). Vou tomar .
Passo 2
Explicando direitinho a definição que vamos usar (é essencial entender isso antes de provar):
- Por definição, dizer
significa que existe tal que
Aqui
é exatamente o valor de
e fica claro que
é não-negativo.
- Propriedades básicas de
que usaremos sem prova detalhada: se então ; além disso, a única forma de obter com é ter e . (Isto é óbvio porque não contém números negativos e o menor elemento é .)
Passo 3
Prova da antissimetria. Suponha as hipóteses:
Pela definição explicada no passo anterior, existem
tais que
Agora substituo a segunda equação na primeira: da segunda tenho
, então
Reagrupando,
Subtraindo
dos dois lados (isto é válido nos inteiros) obtém-se
Passo 4
Ainda no raciocínio da antissimetria: temos
e
. Pela propriedade mencionada no passo 2, a única forma de somar dois não-negativos e obter zero é que ambos sejam zero. Logo
Volto às expressões
e
: com
obtemos
. Assim provamos que, sob as hipóteses,
. Isso termina a prova da antissimetria.
Passo 5
Prova da transitividade. Suponha agora as hipóteses:
Pela definição, existem
tais que
Substituindo a expressão de
na de
obtemos
Como
e
é fechado sob adição, segue que
. Portanto, pela definição de ordem,
Isso conclui a prova da transitividade.
Passo 6
Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia-chave é ver
como “
é
mais algo não-negativo”. Para antissimetria, se cada um é o outro mais algo não-negativo, essas “coisas não-negativas” somadas têm de dar zero, então cada uma tem de ser zero e os números coincidem. Para transitividade, somam-se esses “algo não-negativos” e obtém-se outro não-negativo, mostrando a desigualdade transitiva. Fica tranquilo: é um raciocínio simples quando visualizado como “diferenças não-negativas”.
Resposta
Antissimetria:
.
Transitividade:
.