Questão 6 (Propriedades da Ordem). Prove as seguintes afirmações para inteiros x, y, z :
b) Antissimetria e Transitividade: Se x \geq y e y \geq x, então x=y. Se x \geq y e y \geq z, então x \geq z.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, ambas para inteiros x,y,z:
  • Provar a propriedade chamada antissimetria: se x\ge y e y\ge x, então x=y.
  • Provar a propriedade chamada transitividade: se x\ge y e y\ge z, então x\ge z.
Informações dadas que usaremos:
  • As variáveis x,y,z são inteiros.
  • Usaremos a definição padrão da ordem nos inteiros: x\ge y significa que a diferença x-y é um inteiro não-negativo (ou seja, existe um número natural k com k\ge 0 tal que x=y+k). Vou tomar \mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\}.

Passo 2

Explicando direitinho a definição que vamos usar (é essencial entender isso antes de provar):
  • Por definição, dizer x\ge y significa que existe a\in\mathbb{N}_0 tal que
x = y + a.
Aqui a é exatamente o valor de x-y e fica claro que x-y é não-negativo.
  • Propriedades básicas de \mathbb{N}_0 que usaremos sem prova detalhada: se a,b\in\mathbb{N}_0 então a+b\in\mathbb{N}_0; além disso, a única forma de obter a+b=0 com a,b\in\mathbb{N}_0 é ter a=0 e b=0. (Isto é óbvio porque \mathbb{N}_0 não contém números negativos e o menor elemento é 0.)

Passo 3

Prova da antissimetria. Suponha as hipóteses:
x\ge y\quad\text{e}\quad y\ge x.
Pela definição explicada no passo anterior, existem a,b\in\mathbb{N}_0 tais que
x = y + a \qquad\text{e}\qquad y = x + b.
Agora substituo a segunda equação na primeira: da segunda tenho y = x + b, então
x = (x + b) + a.
Reagrupando,
x = x + (a+b).
Subtraindo x dos dois lados (isto é válido nos inteiros) obtém-se
0 = a+b.

Passo 4

Ainda no raciocínio da antissimetria: temos a,b\in\mathbb{N}_0 e a+b=0. Pela propriedade mencionada no passo 2, a única forma de somar dois não-negativos e obter zero é que ambos sejam zero. Logo
a=0\quad\text{e}\quad b=0.
Volto às expressões x = y + a e y = x + b: com a=0 obtemos x=y. Assim provamos que, sob as hipóteses, x=y. Isso termina a prova da antissimetria.

Passo 5

Prova da transitividade. Suponha agora as hipóteses:
x\ge y\quad\text{e}\quad y\ge z.
Pela definição, existem a,b\in\mathbb{N}_0 tais que
x = y + a \qquad\text{e}\qquad y = z + b.
Substituindo a expressão de y na de x obtemos
x = (z + b) + a = z + (b+a).
Como a,b\in\mathbb{N}_0 e \mathbb{N}_0 é fechado sob adição, segue que b+a\in\mathbb{N}_0. Portanto, pela definição de ordem,
x \ge z.
Isso conclui a prova da transitividade.

Passo 6

Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia-chave é ver x\ge y como “ x é y mais algo não-negativo”. Para antissimetria, se cada um é o outro mais algo não-negativo, essas “coisas não-negativas” somadas têm de dar zero, então cada uma tem de ser zero e os números coincidem. Para transitividade, somam-se esses “algo não-negativos” e obtém-se outro não-negativo, mostrando a desigualdade transitiva. Fica tranquilo: é um raciocínio simples quando visualizado como “diferenças não-negativas”.

Resposta

Antissimetria: x=y.
Transitividade: x\ge z.

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