Questão 1.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas:
Observação importante que vem do enunciado (apenas listando informação, sem resolver ainda): a função está indefinida quando
(ou seja, sobre a reta
a expressão não existe).
Passo 2
O que significa existir esse limite em duas variáveis? Vou explicar devagar: o limite
existe se, para qualquer maneira de fazer
aproximar-se de
por pontos onde
está definida, os valores
tendem sempre ao mesmo número
. Então um teste padrão é calcular o limite tomando diferentes trajetórias (caminhos) que vão para
. Se dois caminhos deram limites diferentes, o limite total não existe. Se todos os caminhos que você testar derem o mesmo número, ainda não prova, mas é uma boa evidência; para provar que existe normalmente se usa resultados mais teóricos (continuidade, mudança para coordenadas polares, desigualdades etc.).
Verificação de domínio: a expressão
não está definida quando
. Portanto não podemos avaliar a expressão exatamente sobre a reta
(exceto no ponto
onde o quociente também é indeterminado). Mas isso não impede aproximar
por pontos onde
(ou seja, por caminhos que não coincidam exatamente com a reta
). Para decidir existência do limite, basta encontrar dois caminhos admissíveis (onde a função está definida perto do ponto, exceto possivelmente no próprio ponto) que deem resultados diferentes.
Passo 3
Vamos testar o caminho das retas que passam pela origem: tome
com
constante e
(se
a função não está definida nessa reta). Substituindo
na expressão, para
e
:
Factorizando
em numerador e denominador:
Como
podemos cancelar
, obtendo
Agora tomo
(nessa reta
isso faz
). O limite da expressão reduzida é
Podemos reescrever esse valor como
mas o importante é perceber que esse valor depende de
. Ou seja, a reta com inclinação
dá um possível valor do limite igual a
.
Passo 4
Para concluir que o limite total não existe, basta exibir dois valores distintos obtidos por duas escolhas de
. Por exemplo:
- Se escolher
(reta ), o valor encontrado é
- Se escolher
(reta ), o valor encontrado é
Como
, os limites ao longo das retas
e
são diferentes. Ambas as retas são caminhos válidos (a função está definida para pontos próximos à origem nessas retas, exceto no próprio ponto).
Conclusão lógica: se ao aproximarmos
por dois caminhos válidos obtemos dois limites diferentes, então não existe um único número
que seja limite para todos os caminhos. Portanto o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.