Questão 1.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y}{x-y}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y}{x-y}.
Informações dadas:
\text{expressão: }\frac{x^{2}-y}{x-y},\qquad\text{ponto de interesse: }(x,y)=(0,0).ã
Observação importante que vem do enunciado (apenas listando informação, sem resolver ainda): a função está indefinida quando x-y=0 (ou seja, sobre a reta y=x a expressão não existe).

Passo 2

O que significa existir esse limite em duas variáveis? Vou explicar devagar: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, para qualquer maneira de fazer (x,y) aproximar-se de (0,0) por pontos onde f está definida, os valores f(x,y) tendem sempre ao mesmo número L. Então um teste padrão é calcular o limite tomando diferentes trajetórias (caminhos) que vão para (0,0). Se dois caminhos deram limites diferentes, o limite total não existe. Se todos os caminhos que você testar derem o mesmo número, ainda não prova, mas é uma boa evidência; para provar que existe normalmente se usa resultados mais teóricos (continuidade, mudança para coordenadas polares, desigualdades etc.).
Verificação de domínio: a expressão \dfrac{x^{2}-y}{x-y} não está definida quando x-y=0. Portanto não podemos avaliar a expressão exatamente sobre a reta y=x (exceto no ponto (0,0) onde o quociente também é indeterminado). Mas isso não impede aproximar (0,0) por pontos onde x\neq y (ou seja, por caminhos que não coincidam exatamente com a reta y=x). Para decidir existência do limite, basta encontrar dois caminhos admissíveis (onde a função está definida perto do ponto, exceto possivelmente no próprio ponto) que deem resultados diferentes.

Passo 3

Vamos testar o caminho das retas que passam pela origem: tome y = m x com m constante e m\neq 1 (se m=1 a função não está definida nessa reta). Substituindo y = m x na expressão, para x\neq 0 e m\neq 1:
\frac{x^{2}-y}{x-y}=\frac{x^{2}-m x}{x-m x}.
Factorizando x em numerador e denominador:
\frac{x^{2}-m x}{x-m x}=\frac{x(x-m)}{x(1-m)}.
Como x\neq 0 podemos cancelar x, obtendo
\frac{x-m}{1-m}.
Agora tomo x\to 0 (nessa reta y=mx isso faz (x,y)\to(0,0)). O limite da expressão reduzida é
\lim_{x\to 0}\frac{x-m}{1-m}=\frac{0-m}{1-m}=\frac{-m}{1-m}.
Podemos reescrever esse valor como
\frac{-m}{1-m}=\frac{m}{m-1},
mas o importante é perceber que esse valor depende de m. Ou seja, a reta com inclinação m dá um possível valor do limite igual a \dfrac{-m}{1-m}.

Passo 4

Para concluir que o limite total não existe, basta exibir dois valores distintos obtidos por duas escolhas de m. Por exemplo:
  • Se escolher m=0 (reta y=0), o valor encontrado é
\frac{-0}{1-0}=0.
  • Se escolher m=2 (reta y=2x), o valor encontrado é
\frac{-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2.
Como 0\neq 2, os limites ao longo das retas y=0 e y=2x são diferentes. Ambas as retas são caminhos válidos (a função está definida para pontos próximos à origem nessas retas, exceto no próprio ponto).
Conclusão lógica: se ao aproximarmos (0,0) por dois caminhos válidos obtemos dois limites diferentes, então não existe um único número L que seja limite para todos os caminhos. Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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