Questão extra ( 0,5 pontos) Seja
, onde
é uma função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
é uma função (assumimos que é diferenciável quando necessário). A pergunta é verificar (ou determinar em que condições) a igualdade
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
e a igualdade PDE a ser verificada.
Passo 2
Vamos preparar o terreno: ao diferenciar
precisamos usar duas regras básicas de diferenciação de funções de várias variáveis:
- Regra do produto (produto de duas funções de
): se então
Isto significa que derivamos a primeira mantendo a segunda e somamos a primeira vezes a derivada da segunda.
- Regra da cadeia (quando compomos uma função unidimensional com uma combinação linear das variáveis): se
então
onde
é a derivada de
em relação ao argumento. Aqui é útil definir
.
Vou aplicar essas regras passo a passo, explicando cada termo.
Passo 3
Definimos
. Então
. Calculemos primeiro
.
Usamos que
. Ao derivar em relação a
,
é tratado como constante (pois não depende de
) e aplicamos a regra da cadeia à
:
Como
, temos
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos
. Aqui devemos aplicar a regra do produto porque
e ambas as parcelas dependem de
(note que
depende de
).
Pela regra do produto,
Calculamos cada termo:
-
-
Para
usamos a regra da cadeia:
Como
,
. Logo
Substituindo esses resultados:
Passo 5
Somamos agora as derivadas parciais que calculamos:
Note que os termos com
se cancelam:
Mas
por definição. Portanto obtemos exatamente
Passo 6
Interpretação final e observação prática (um exemplo rápido para fixar): a identidade anterior mostra que a igualdade é verdadeira independentemente da forma específica de
, desde que
seja diferenciável (para que
exista). Ou seja, não há restrição adicional sobre
.
Exemplo concreto para conferir: escolha
. Então
. Calculando as derivadas parciais conforme os passos acima também chega-se a
, confirmando o resultado.
Resposta
A igualdade é satisfeita para qualquer
diferenciável; ou seja,
para toda
diferenciável.