Questão extra ( 0,5 pontos) Seja f(x, y)=e^{y} \varphi(x-y), onde \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=f .

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=e^{y}\,\varphi(x-y),
onde \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função (assumimos que é diferenciável quando necessário). A pergunta é verificar (ou determinar em que condições) a igualdade
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=f.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f e a igualdade PDE a ser verificada.

Passo 2

Vamos preparar o terreno: ao diferenciar f(x,y)=e^{y}\,\varphi(x-y) precisamos usar duas regras básicas de diferenciação de funções de várias variáveis:
  1. Regra do produto (produto de duas funções de x,y): se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\frac{\partial g}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Isto significa que derivamos a primeira mantendo a segunda e somamos a primeira vezes a derivada da segunda.
  1. Regra da cadeia (quando compomos uma função unidimensional com uma combinação linear das variáveis): se h(x,y)=\varphi(\,u(x,y)\,) então
\frac{\partial h}{\partial x}=\varphi'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial h}{\partial y}=\varphi'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial y},
onde \varphi' é a derivada de \varphi em relação ao argumento. Aqui é útil definir u(x,y)=x-y.
Vou aplicar essas regras passo a passo, explicando cada termo.

Passo 3

Definimos u(x,y)=x-y. Então \varphi(x-y)=\varphi(u). Calculemos primeiro \frac{\partial f}{\partial x}.
Usamos que f(x,y)=e^{y}\,\varphi(u). Ao derivar em relação a x, e^{y} é tratado como constante (pois não depende de x) e aplicamos a regra da cadeia à \varphi(u):
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y}\cdot \frac{d}{dx}\big(\varphi(u)\big) = e^{y}\cdot \varphi'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Como u(x,y)=x-y, temos \frac{\partial u}{\partial x}=1. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}= e^{y}\,\varphi'(u).

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial y}. Aqui devemos aplicar a regra do produto porque f=e^{y}\cdot\varphi(u) e ambas as parcelas dependem de y (note que u=x-y depende de y).
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\big)\cdot\varphi(u) + e^{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(\varphi(u)\big).
Calculamos cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y}\big)=e^{y}.
  • Para \frac{\partial}{\partial y}\big(\varphi(u)\big) usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\varphi(u)\big)=\varphi'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como u=x-y, \frac{\partial u}{\partial y}=-1. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(\varphi(u)\big)=\varphi'(u)\cdot(-1)=-\varphi'(u).
Substituindo esses resultados:
\frac{\partial f}{\partial y}= e^{y}\,\varphi(u) + e^{y}\,(-\varphi'(u)) = e^{y}\,\varphi(u) - e^{y}\,\varphi'(u).

Passo 5

Somamos agora as derivadas parciais que calculamos:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} = \big(e^{y}\,\varphi'(u)\big) + \big(e^{y}\,\varphi(u) - e^{y}\,\varphi'(u)\big).
Note que os termos com \varphi'(u) se cancelam:
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} = e^{y}\,\varphi(u).
Mas e^{y}\,\varphi(u)=f(x,y) por definição. Portanto obtemos exatamente
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=f.

Passo 6

Interpretação final e observação prática (um exemplo rápido para fixar): a identidade anterior mostra que a igualdade é verdadeira independentemente da forma específica de \varphi, desde que \varphi seja diferenciável (para que \varphi' exista). Ou seja, não há restrição adicional sobre \varphi.
Exemplo concreto para conferir: escolha \varphi(t)=t^{2}. Então f(x,y)=e^{y}(x-y)^{2}. Calculando as derivadas parciais conforme os passos acima também chega-se a \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=e^{y}(x-y)^{2}=f, confirmando o resultado.

Resposta

A igualdade é satisfeita para qualquer \varphi diferenciável; ou seja, \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=f para toda \varphi diferenciável.

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