Seja
. Mostre que
é diferenciável.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
é diferenciável. Também é fornecido o vetor (ou ponto)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O conjunto acima é o disco fechado de raio
centrado na origem. O valor do vetor dado é
, e
ou seja,
não pertence ao domínio de
.
Não vou resolver nada ainda; apenas organizo o que foi pedido e as informações dadas.
Passo 2
Definição prática de diferenciabilidade em duas variáveis (explicada devagarinho): seja um ponto
onde queremos testar
. Dizemos que
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear
tal que, chamando
,
Aqui
e
significa que o resto é muito menor que
quando
tende a zero.
Na prática, quando
tem derivadas parciais contínuas numa vizinhança de
, a linearização
é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
. Então, mostrar que as parciais existem e são contínuas numa vizinhança aberta do ponto é uma maneira prática de garantir diferenciabilidade.
Passo 3
Estratégia simples e muito usada: escrevemos
como composição de funções mais simples e aplicamos regras de derivação por composição.
Definimos
e
Então
.
Observações importantes:
-
é um polinômio (combinação de e ), logo é diferenciável em todo . -
é diferenciável para todo com
mas
não tem derivada finita em
(pois
quando
).
Pelo teorema da composição,
será diferenciável em pontos
tais que
, isto é, quando
Em palavras: a composição de duas funções diferenciáveis é diferenciável onde a derivada da função exterior existe (aqui
precisa existir), portanto diferenciável no disco aberto de raio
.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente as derivadas parciais para ver a forma da linearização. Usamos a regra da cadeia (explico passo a passo):
Primeiro calcule as derivadas de
:
A derivada de
é
para
.
Aplicando a regra da cadeia para parciais:
Simplificando:
Analogamente,
Essas fórmulas valem para todo
com
, isto é, para
.
Passo 5
Agora preciso justificar por que as derivadas parciais acima garantem diferenciabilidade. Observação: cada uma das funções
é contínua onde definida; a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Assim
e
são contínuas em todo ponto do disco aberto
(pois o denominador
ali).
Teorema (versão prática): se as derivadas parciais existem numa vizinhança de
e são contínuas em
, então
é diferenciável em
. Aplicando isso, concluímos que
é diferenciável em todo ponto com
.
Em palavras simpáticas: dentro do disco de raio
a raiz quadrada não “encosta” no zero, tudo é suave, as parciais existem e variam continuamente — por isso
tem boa aproximação linear em cada ponto interno.
Passo 6
E quanto aos pontos da fronteira onde
? Ali
e
não existe (tende a infinito). Para ver que não dá para estender diferenciabilidade na fronteira, basta um exemplo concreto: considere o ponto
sobre a fronteira. Temos
. Aproximando por pontos
com
pequeno,
Para
pequeno isso é aproximadamente
. Se
fosse diferenciável em
com linearização
, então o erro teria que ser
, mas
quando
. Logo a condição de erro
não é satisfeita — portanto
não é diferenciável em pontos da circunferência
.
Passo 7
Retomando o vetor/ponto
que você forneceu: calculei antes que
portanto
não pertence ao domínio de
. Conclusão prática e rápida: não faz sentido falar que
é diferenciável em
, porque
não está nem definida em
. Se a sua intenção era outra (por exemplo, pedir a derivada direcional em alguma direção dada por
em um ponto do domínio), me diga o ponto onde queres avaliar; do jeito que está, só posso afirmar que
está fora do domínio.
Resposta
As derivadas parciais são
válidas para
.
não é diferenciável nos pontos com
.
O ponto satisfaz
, logo
dom
e não se pode falar em diferenciabilidade de
em
.
O ponto