Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
\left(t^{2}-9\right) y^{\prime}+t y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(t^2-9r),y' + t,y = 0
Trata-se de uma EDO linear homogênea que podemos transformar na forma padrão
y' + p(t),y = 0
para, por exemplo, usar separação de variáveis ou fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por ,t^2-9 (supondo tneq pm3) para obter
y' + tt^2-9,y = 0

Passo 3

Como é homogênea, podemos separar variáveis escrevendo
y'y = -,tt^2-9,
isto é
d yy = -,tt^2-9,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral d yy = -integral tt^2-9,dt
No segundo integral, fazemos u = t^2-9, du = 2t,dt, logo
- integral tt^2-9,dt = -12 integral duu = -12 lnl|ur| + C = -12 lnl|t^2-9r| + C
Do lado esquerdo fica ln|y|. Portanto
ln|y| = -tfrac12 lnl|t^2-9r| + C

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos
|y| = e^C,l|t^2-9r|^-1/2
Chamando C1= pm e^C (constante real arbitrária), temos a solução geral
y = C1,(t^2-9)^-tfrac12

Resposta

y(t) = C,(t^2-9)^-tfrac12, CinR,
definida para tneq pm3.

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