Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
(\sin t) y^{\prime}+(\cos t) y=\sin \left(t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(sin t),y' + (cos t),y = sinl(t^2r),
que é linear na forma y' + P(t),y = Q(t). Vamos aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por sin t (supondo sin tneq0), obtemos a forma padrão
y' + cos tsin t,y = sin(t^2)sin t
Aqui P(t)=cot t e Q(t)=sin(t^2)/sin t.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é
mu(t)=exp!l(integral P(t),dtr) =exp!l(integral cot t,dtr) =expl(ln|sin t|r) =sin t

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=sin t temos
sin t,y' + cos t,y = sin(t^2),
que reconhecemos como
ddtl(sin t,yr)=sin(t^2)
Integrando em t,
sin t,y = integral sin(t^2),dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) =1sin tl(!C + integral sin(t^2),dtr)

Resposta

y(t)=C+integral sinl(t^2r),dtsin t,
com C constante arbitrária.

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