Questão 5. Um lingote de cobre de massa m_{c}=75 \mathrm{~g} é aquecido em um forno de laboratório até a temperatura \mathrm{T}=312^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, o lingote é colocado em um béquer de vidro contendo uma massa m_{a}=220 \mathrm{~g} de água. A temperatura inicial da água e do béquer é T_{i}=12{ }^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} sistema lingote-água-béquer atinge o equilíbrio térmico a uma temperatura T_{f}=20^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que o lingote, o béquer e a água são um sistema isolado e que a água não é vaporizada, determine a capacidade térmica C_{b} do béquer \mathrm{em} \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C} .\left(c_{\text {cobre }}=0,0923 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right. e c_{\text {água }}=1,00 \mathrm{cal} / \mathrm{g} { }^{\circ} \mathrm{C}á )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: massa do lingote de cobre m_{c}=75\\ \mathrm{g}.
  • Dado: temperatura inicial do cobre T_{c,i}=312^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: massa de água m_{a}=220\\ \mathrm{g}.
  • Dado: temperatura inicial da água e do béquer T_{i}=12^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: temperatura final de equilíbrio do sistema T_{f}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: capacidade térmica específica do cobre c_{\text{cobre}}=0,0923\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: capacidade térmica específica da água c_{\text{água}}=1,00\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á.
  • Pedido: determinar a capacidade térmica do béquer C_{b} em \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos importantes e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pânico!).
  • Calor trocado por um corpo quando sua temperatura varia é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor (em calorias, \mathrm{cal});
  • m é a massa do corpo (em gramas, \mathrm{g});
  • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), calculada como temperatura final menos temperatura inicial.
  • Capacidade térmica C de um objeto (não por unidade de massa) é a quantidade de calor necessária para elevar sua temperatura em 1^\circ\mathrm{C}. Para um objeto com capacidade C e variação de temperatura \Delta T, o calor trocado é
Q = C\,\Delta T.
  • Em um sistema isolado (nenhum calor entra ou sai do conjunto), a soma algébrica dos calores trocados é zero. Aqui assumimos que o lingote, a água e o béquer formam o sistema isolado e que a água não evapora.

Passo 3

Escrever as expressões de calor para cada parte (atenção aos sinais).
  • Calor perdido pelo cobre (ele esfria de 312^\circ\mathrm{C} para 20^\circ\mathrm{C}):
Q_{c} = m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,\bigl(T_{f}-T_{c,i}\bigr).
Note que T_{f}-T_{c,i} será negativo, então Q_c será negativo (calor perdido).
  • Calor ganho pela água (esquenta de 12^\circ\mathrm{C} para 20^\circ\mathrm{C}):
Q_{a} = m_{a}\,c_{\text{água}}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).á
  • Calor ganho pelo béquer (capacidade C_{b}, mesma variação de temperatura da água):
Q_{b} = C_{b}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).
Conservação de energia (soma dos calores = 0):
Q_{c} + Q_{a} + Q_{b} = 0.

Passo 4

Substituir as expressões de Q_c,Q_a,Q_b na equação de conservação e isolar C_{b}.
m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,\bigl(T_{f}-T_{c,i}\bigr) + m_{a}\,c_{\text{água}}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr) + C_{b}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr) = 0.á
Isolando C_{b}:
C_{b}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr) = -\,m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,\bigl(T_{f}-T_{c,i}\bigr) - m_{a}\,c_{\text{água}}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).á
Como \bigl(T_{f}-T_{c,i}\bigr)=-(T_{c,i}-T_{f}), fica mais intuitivo escrever calor perdido pelo cobre como positivo no lado direito:
C_{b}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr) = m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,\bigl(T_{c,i}-T_{f}\bigr) - m_{a}\,c_{\text{água}}\,\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).á
Finalmente,
C_{b} = \frac{m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,\bigl(T_{c,i}-T_{f}\bigr)}{T_{f}-T_{i}} - m_{a}\,c_{\text{água}}.á

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos (sem pular etapas).
Primeiro calcule a capacidade térmica do lingote (massa vezes calor específico):
m_{c}\,c_{\text{cobre}} = 75\cdot 0,0923 = 6,9225\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
Calcular a diferença de temperaturas do cobre:
T_{c,i}-T_{f} = 312 - 20 = 292\\ ^\circ\mathrm{C}.
Produto que dá o calor disponibilizado pelo cobre:
m_{c}\,c_{\text{cobre}}\,(T_{c,i}-T_{f}) = 6,9225 \times 292 = 2021{,}37\\ \mathrm{cal}.
Calcular a variação de temperatura que a água e o béquer sofreram:
T_{f}-T_{i} = 20 - 12 = 8\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calor ganho pela água:
m_{a}\,c_{\text{água}}\,(T_{f}-T_{i}) = 220 \times 1{,}00 \times 8 = 1760\\ \mathrm{cal}.á

Passo 6

Substituir os números na fórmula para C_{b} e resolver.
A equação obtida no Passo 4 pode ser reescrita numericamente como
C_{b}\times 8 = 2021{,}37 - 1760 = 261{,}37\\ \mathrm{cal},
portanto
C_{b} = \frac{261{,}37}{8} = 32{,}67125\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente (os dados têm duas a três casas significativas), podemos apresentar C_{b} com duas casas decimais:
C_{b} \approx 32{,}67\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.

Resposta

C_{b}=32{,}67\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}

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