Questão 5. Se
, então
pode ser:
A ( ) -4
B( ) -2
C ( )
D( ) 2
E ( ) NDA
A ( ) -4
B( ) -2
C ( )
D( ) 2
E ( ) NDA
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
O que se pede implicitamente é determinar quais valores de
tornam essa igualdade verdadeira — entre as alternativas:
A , B
, C
, D
, E NDA.
A
Informações e condições relevantes (todas retiradas do enunciado):
- A equação envolve logaritmos com bases
e . - Para que um logaritmo
esteja definido é necessário e suficiente que: Essas condições valem aqui para as duas bases e os dois argumentos. - Os argumentos dos logaritmos são
e . - As bases são
e .
Na próxima etapa vamos usar fatorações e propriedades de logaritmo para simplificar a equação e então resolver para
. Não começarei a calcular ainda — só organizei tudo que o enunciado nos deu e as restrições que devemos checar depois.
Passo 2
Observar fatorações das expressões quadráticas (isso é uma dica clássica: tente fatorar os polinômios):
- Calcular/fatorar
. Verificando um produto de binômios: Logo - Calcular/fatorar
. Observa-se que Logo
Essas fatorações foram tiradas diretamente dos polinômios do enunciado.
Passo 3
Substituir as fatorações na equação original. A equação passa a ser
Agora use propriedades básicas de logaritmo (vou explicar cada uma):
- Propriedade 1:
. É direta da definição do logaritmo. - Propriedade 2:
. - Propriedade 3 (importante para trocas de base):
. Isso vem de escrever e inverter.
Aplicando Propriedade 1 ao membro esquerdo:
pois
.
Aplicando Propriedade 2 ao termo do lado direito:
Substituindo na equação obtemos
Passo 4
Trocar para uma única incógnita logarítmica usando a Propriedade 3. Defina
Então, usando
, tem-se
Substituindo esses em a equação do passo anterior:
Essa é agora uma equação algébrica simples em
.
Passo 5
Resolver a equação em
. Multiplicando ambos os lados por
(atenção: isso exige
, mas
corresponderia a
, caso que depois podemos checar; aqui o procedimento dará as raízes relevantes):
Trazer tudo para um lado:
Multiplicando por
:
Fatora-se:
Portanto as soluções são
Passo 6
Voltar das soluções em
para
e checar cada caso cuidadosamente com as condições de domínio.
Caso 1:
. Então
Isso significa (pela definição do logaritmo) que
Resolver:
Agora verificar condições de existência de logaritmos para
:
- Base
, que é negativa, logo inválida como base de logaritmo.
PortantoNÃO é solução válida (mesmo que algebraicamente satisfaça a relação em , viola a condição ). Assim rejeitamos .
Caso 2:
. Então
Pela definição do logaritmo isto diz
onde a raiz é a raiz principal (não-negativa). Para eliminar a raiz, elevamos ao quadrado (lembrando que isso pode introduzir soluções extranhas, que teremos que checar depois):
Expandindo:
Passe tudo para um lado:
Fatora-se:
Logo as raízes são
Passo 7
Verificar cada candidato quanto às condições de definição dos logaritmos e à originalidade (não aceitar soluções que surgiram apenas por elevar ao quadrado ou que gerem base inválida).
Verificação para
:
- Base
e diferente de . OK. - Base
e diferente de . OK. - Argument
é produto de duas quantidades positivas, logo positivo. OK. - Argument
. OK. - Além disso, na etapa em que colocámos
, para o lado direito é , consistente com a raiz. Portanto satisfaz a equação original e as condições de domínio.
Verificação para
:
- Base
. Isso é proibido (base não pode ser ). Portanto é inválido, mesmo que tenha surgido da equação ao quadrado. Rejeitar.
Assim das soluções candidatas obtidas, apenas
passa em todas as checagens.
Passo 8
Resumo final (ênfase pedagógica rápida): o truque foi notar as fatorações das expressões dentro dos logaritmos, usar propriedades
,
e a identidade
. Isso transformou a equação em um polinômio em
. Ao voltar a
, sempre checar as restrições de domínio dos logaritmos (base positiva e diferente de 1; argumentos positivos) e descartar raízes extranhas introduzidas por elevações ao quadrado.
Resposta
C