Questão 5. Se \log _{(2 x+3)}\left(6 x^{2}+23 x+21\right)=4-\log _{(3 x+7)}\left(4 x^{2}+12 x+9\right), então \mathbf{x} pode ser:
A ( ) -4
B( ) -2
C ( ) -\frac{1}{4}
D( ) 2
E ( ) NDA

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{(2x+3)}\!\bigl(6x^{2}+23x+21\bigr)=4-\log_{(3x+7)}\!\bigl(4x^{2}+12x+9\bigr).
O que se pede implicitamente é determinar quais valores de x tornam essa igualdade verdadeira — entre as alternativas:
A -4, B -2, C -\tfrac{1}{4}, D 2, E NDA.
Informações e condições relevantes (todas retiradas do enunciado):
  • A equação envolve logaritmos com bases 2x+3 e 3x+7.
  • Para que um logaritmo \log_{b}(a) esteja definido é necessário e suficiente que: b>0,\quad b\neq1,\quad a>0.Essas condições valem aqui para as duas bases e os dois argumentos.
  • Os argumentos dos logaritmos são 6x^{2}+23x+21 e 4x^{2}+12x+9.
  • As bases são 2x+3 e 3x+7.
Na próxima etapa vamos usar fatorações e propriedades de logaritmo para simplificar a equação e então resolver para x. Não começarei a calcular ainda — só organizei tudo que o enunciado nos deu e as restrições que devemos checar depois.

Passo 2

Observar fatorações das expressões quadráticas (isso é uma dica clássica: tente fatorar os polinômios):
  • Calcular/fatorar 6x^{2}+23x+21. Verificando um produto de binômios: (2x+3)(3x+7)=6x^{2}+14x+9x+21=6x^{2}+23x+21.Logo 6x^{2}+23x+21=(2x+3)(3x+7).
  • Calcular/fatorar 4x^{2}+12x+9. Observa-se que (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9.Logo 4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}.
Essas fatorações foram tiradas diretamente dos polinômios do enunciado.

Passo 3

Substituir as fatorações na equação original. A equação passa a ser
\log_{(2x+3)}\!\bigl((2x+3)(3x+7)\bigr)=4-\log_{(3x+7)}\!\bigl((2x+3)^{2}\bigr).
Agora use propriedades básicas de logaritmo (vou explicar cada uma):
  • Propriedade 1: \log_{a}(uv)=\log_{a}u+\log_{a}v. É direta da definição do logaritmo.
  • Propriedade 2: \log_{a}(u^{k})=k\log_{a}u.
  • Propriedade 3 (importante para trocas de base): \log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}. Isso vem de escrever \log_{a}b=\dfrac{\ln b}{\ln a} e inverter.
Aplicando Propriedade 1 ao membro esquerdo:
\log_{(2x+3)}\!\bigl((2x+3)(3x+7)\bigr)=\log_{(2x+3)}(2x+3)+\log_{(2x+3)}(3x+7)=1+\log_{(2x+3)}(3x+7),
pois \log_{a}a=1.
Aplicando Propriedade 2 ao termo do lado direito:
\log_{(3x+7)}\!\bigl((2x+3)^{2}\bigr)=2\log_{(3x+7)}(2x+3).
Substituindo na equação obtemos
1+\log_{(2x+3)}(3x+7)=4-2\log_{(3x+7)}(2x+3).

Passo 4

Trocar para uma única incógnita logarítmica usando a Propriedade 3. Defina
t=\log_{(3x+7)}(2x+3).
Então, usando \log_{a}b=1/\log_{b}a, tem-se
\log_{(2x+3)}(3x+7)=\frac{1}{t}.
Substituindo esses em a equação do passo anterior:
1+\frac{1}{t}=4-2t.
Essa é agora uma equação algébrica simples em t.

Passo 5

Resolver a equação em t. Multiplicando ambos os lados por t (atenção: isso exige t\neq0, mas t=0 corresponderia a \log_{(3x+7)}(2x+3)=0\Rightarrow2x+3=1, caso que depois podemos checar; aqui o procedimento dará as raízes relevantes):
t+1=4t-2t^{2}.
Trazer tudo para um lado:
0=-2t^{2}+3t-1.
Multiplicando por -1:
2t^{2}-3t+1=0.
Fatora-se:
(2t-1)(t-1)=0.
Portanto as soluções são
t=1\quad\text{ou}\quad t=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Voltar das soluções em t para x e checar cada caso cuidadosamente com as condições de domínio.
Caso 1: t=1. Então
\log_{(3x+7)}(2x+3)=1.
Isso significa (pela definição do logaritmo) que
2x+3=3x+7.
Resolver:
2x+3=3x+7 \Rightarrow -x=4 \Rightarrow x=-4.
Agora verificar condições de existência de logaritmos para x=-4:
  • Base 3x+7=3(-4)+7=-12+7=-5, que é negativa, logo inválida como base de logaritmo.
    Portanto x=-4 NÃO é solução válida (mesmo que algebraicamente satisfaça a relação em t, viola a condição \text{base}>0). Assim rejeitamos x=-4.
Caso 2: t=\tfrac{1}{2}. Então
\log_{(3x+7)}(2x+3)=\tfrac{1}{2}.
Pela definição do logaritmo isto diz
2x+3=(3x+7)^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{3x+7},
onde a raiz é a raiz principal (não-negativa). Para eliminar a raiz, elevamos ao quadrado (lembrando que isso pode introduzir soluções extranhas, que teremos que checar depois):
(2x+3)^{2}=3x+7.
Expandindo:
4x^{2}+12x+9=3x+7.
Passe tudo para um lado:
4x^{2}+9x+2=0.
Fatora-se:
(4x+1)(x+2)=0.
Logo as raízes são
x=-\tfrac{1}{4}\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 7

Verificar cada candidato quanto às condições de definição dos logaritmos e à originalidade (não aceitar soluções que surgiram apenas por elevar ao quadrado ou que gerem base inválida).
Verificação para x=-\tfrac{1}{4}:
  • Base 2x+3=2(-\tfrac{1}{4})+3=-\tfrac{1}{2}+3=\tfrac{5}{2}>0 e diferente de 1. OK.
  • Base 3x+7=3(-\tfrac{1}{4})+7=-\tfrac{3}{4}+7=\tfrac{25}{4}>0 e diferente de 1. OK.
  • Argument 6x^{2}+23x+21=(2x+3)(3x+7) é produto de duas quantidades positivas, logo positivo. OK.
  • Argument 4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}>0. OK.
  • Além disso, na etapa em que colocámos \sqrt{3x+7}=2x+3, para x=-\tfrac{1}{4} o lado direito é 2,5\ge0, consistente com a raiz. Portanto x=-\tfrac{1}{4} satisfaz a equação original e as condições de domínio.
Verificação para x=-2:
  • Base 3x+7=3(-2)+7=-6+7=1. Isso é proibido (base não pode ser 1). Portanto x=-2 é inválido, mesmo que tenha surgido da equação ao quadrado. Rejeitar.
Assim das soluções candidatas obtidas, apenas x=-\tfrac{1}{4} passa em todas as checagens.

Passo 8

Resumo final (ênfase pedagógica rápida): o truque foi notar as fatorações das expressões dentro dos logaritmos, usar propriedades \log_{a}(uv)=\log_{a}u+\log_{a}v, \log_{a}(u^{k})=k\log_{a}u e a identidade \log_{a}b=1/\log_{b}a. Isso transformou a equação em um polinômio em t=\log_{(3x+7)}(2x+3). Ao voltar a x, sempre checar as restrições de domínio dos logaritmos (base positiva e diferente de 1; argumentos positivos) e descartar raízes extranhas introduzidas por elevações ao quadrado.

Resposta

C \;-\tfrac{1}{4}

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