Questão 6. No triângulo ABC , tem-se \mathrm{AB}=80, \mathrm{BC}=45 e \mathrm{AC}=75. A bissetriz do ângulo \angle \mathrm{B} e a altura relativa ao lado \overline{\mathrm{AB}} intersectam-se no ponto \mathrm{P} . \mathrm{O} valor de BP é:
A ( ) 18
B ( ) 19
C ( ) 20
D ( ) 21
E ( ) 22
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC com os comprimentos dos lados:
\mathrm{AB}=80
\mathrm{BC}=45
\mathrm{AC}=75
Pergunta: a bissetriz do ângulo \angle B e a altura relativa ao lado \overline{AB} se intersectam no ponto P. Qual é o valor de BP?
Passo 2
Escolha conveniente de coordenadas (para facilitar contas): colocar \overline{AB} ao longo do eixo x com
A=(0,0),\qquad B=(80,0).
Assim a reta AB é y=0. Vamos determinar as coordenadas de C=(x_C,y_C) usando as distâncias dadas.
A altura relativa a \overline{AB} é a perpendicular a AB que passa por C. Como AB está em y=0 (reta horizontal), a perpendicular é a reta vertical que passa por x_C:
\text{altura: } x=\frac{125}{2}.
Passo 6
A bissetriz interna do ângulo em B intercepta o lado AC em um ponto D tal que, pela razão da bissetriz (teorema da bissetriz),
Assim D divide AC na razão 16:9, ou seja AD=\dfrac{16}{25}\,AC. Como A=(0,0) e C=\bigl(\tfrac{125}{2},\tfrac{25\sqrt{11}}{2}\bigr), as coordenadas de D são