Questão 6. No triângulo ABC , tem-se \mathrm{AB}=80, \mathrm{BC}=45 e \mathrm{AC}=75. A bissetriz do ângulo \angle \mathrm{B} e a altura relativa ao lado \overline{\mathrm{AB}} intersectam-se no ponto \mathrm{P} . \mathrm{O} valor de BP é:
A ( ) 18
B ( ) 19
C ( ) 20
D ( ) 21
E ( ) 22

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com os comprimentos dos lados:
  • \mathrm{AB}=80
  • \mathrm{BC}=45
  • \mathrm{AC}=75
Pergunta: a bissetriz do ângulo \angle B e a altura relativa ao lado \overline{AB} se intersectam no ponto P. Qual é o valor de BP?

Passo 2

Escolha conveniente de coordenadas (para facilitar contas): colocar \overline{AB} ao longo do eixo x com
A=(0,0),\qquad B=(80,0).
Assim a reta AB é y=0. Vamos determinar as coordenadas de C=(x_C,y_C) usando as distâncias dadas.

Passo 3

Usar as equações das distâncias AC=75 e BC=45:
x_C^2+y_C^2=75^2=5625,
(x_C-80)^2+y_C^2=45^2=2025.
Subtraindo a segunda da primeira elimina y_C^2:
x_C^2-(x_C-80)^2=5625-2025=3600.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
x_C^2-(x_C^2-160x_C+6400)=160x_C-6400=3600,
portanto
160x_C=10000\quad\Rightarrow\quad x_C=\frac{10000}{160}=\frac{125}{2}=62{,}5.

Passo 4

Agora ache y_C usando x_C na primeira equação:
y_C^2=5625-x_C^2=5625-\left(\frac{125}{2}\right)^2=5625-\frac{15625}{4}=\frac{6875}{4}.
Fatorando \,6875=625\cdot11, obtemos
y_C=\frac{25\sqrt{11}}{2}.
Logo
C=\left(\frac{125}{2},\,\frac{25\sqrt{11}}{2}\right).

Passo 5

A altura relativa a \overline{AB} é a perpendicular a AB que passa por C. Como AB está em y=0 (reta horizontal), a perpendicular é a reta vertical que passa por x_C:
\text{altura: } x=\frac{125}{2}.

Passo 6

A bissetriz interna do ângulo em B intercepta o lado AC em um ponto D tal que, pela razão da bissetriz (teorema da bissetriz),
\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{80}{45}=\frac{16}{9}.
Assim D divide AC na razão 16:9, ou seja AD=\dfrac{16}{25}\,AC. Como A=(0,0) e C=\bigl(\tfrac{125}{2},\tfrac{25\sqrt{11}}{2}\bigr), as coordenadas de D são
D=\left(\frac{16}{25}\cdot\frac{125}{2},\\ \frac{16}{25}\cdot\frac{25\sqrt{11}}{2}\right)=\left(40,\\\ 8\sqrt{11}\right).

Passo 7

A equação da bissetriz (reta BD) passa por B=(80,0) e D=(40,8\sqrt{11}). A inclinação é
m=\frac{8\sqrt{11}-0}{40-80}=\frac{8\sqrt{11}}{-40}=-\frac{\sqrt{11}}{5}.
Logo a equação da bissetriz é
y=-\frac{\sqrt{11}}{5}(x-80).

Passo 8

O ponto P é a interseção entre a bissetriz e a altura. A altura é x=\dfrac{125}{2}. Substituindo na equação da bissetriz:
y_P=-\frac{\sqrt{11}}{5}\!\left(\frac{125}{2}-80\right)=-\frac{\sqrt{11}}{5}\!\left(-\frac{35}{2}\right)=\frac{35\sqrt{11}}{10}=\frac{7\sqrt{11}}{2}.
Portanto
P=\left(\frac{125}{2},\\ \frac{7\sqrt{11}}{2}\right).

Passo 9

Calcular BP usando a fórmula da distância entre B=(80,0) e P=\bigl(\tfrac{125}{2},\tfrac{7\sqrt{11}}{2}\bigr). As diferenças são
\Delta x=\frac{125}{2}-80=-\frac{35}{2},\qquad \Delta y=\frac{7\sqrt{11}}{2}-0=\frac{7\sqrt{11}}{2}.
Assim
BP^2=\left(-\frac{35}{2}\right)^2+\left(\frac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2=\frac{1225}{4}+\frac{49\cdot11}{4}=\frac{1225+539}{4}=\frac{1764}{4}=441.

Resposta

21

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