Questão 1.
\log _{\sqrt[3]{4}} 2

Passo 1

O enunciado pede o valor de \log_{\sqrt[3]{4}}2. O conteúdo aqui é logaritmo com base exponencial e vamos usar a fórmula de mudança de base junto com propriedades de logaritmos.

Passo 2

Observe que a base pode ser reescrita como potência:
\sqrt[3]{4} = 4^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de mudança de base, que diz
\log_{a}b = \frac{\ln b}{\ln a}.
Logo,
\log_{4^{\tfrac{1}{3}}}2 = \frac{\ln 2}{\ln\bigl(4^{\tfrac{1}{3}}\bigr)}.

Passo 4

Simplificamos o denominador usando \ln(x^{k}) = k\ln x:
\ln\bigl(4^{\tfrac{1}{3}}\bigr) = \tfrac{1}{3}\ln 4 = \tfrac{1}{3}\cdot 2\ln 2 = \tfrac{2}{3}\ln 2.

Passo 5

Substituindo essa expressão no quociente:
\log_{4^{\tfrac{1}{3}}}2 = \frac{\ln 2}{\tfrac{2}{3}\ln 2} = \frac{3}{2}.

Resposta

\tfrac{3}{2}

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