Questão 7. Um carpinteiro deseja construir um caixote retangular com um volume de
. Três diferentes materiais serão usados. O material para os lados do caixote custa R$1,00 o metro quadrado, o material para o fundo custa
3,00
\mathrm{R} $ 5,00$ o metro quadrado. Quais são as dimensões do caixote mais barato?
Passo 1
O problema pede as dimensões
de um caixote retangular com volume fixo de
que minimizam o custo de fabricação, dado que o fundo, a tampa e as quatro laterais têm materiais com preços diferentes. Vamos usar otimização com restrição (método de substituição e derivadas parciais) para resolver.
Passo 2
Escolhemos como variáveis as dimensões da base:
(comprimento),
(largura) e
(altura).
A restrição de volume é
A restrição de volume é
O custo total
é a soma dos custos de cada face:
- fundo: área
a , custo ; - tampa: área
a , custo ; - quatro laterais: duas faces
e duas faces , área total a , custo .
Portanto,
Passo 3
Da restrição de volume, expressamos
em função de
e
:
Substituindo em
obtemos
Para simplificar, note que
Logo
Passo 4
Para minimizar
no primeiro quadrante, igualamos as derivadas parciais a zero.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Substituindo
na segunda equação:
Então
E finalmente
Passo 5
Verificamos que
de fato satisfaz a restrição e dá um mínimo (pela positividade e formato convexo da função custo nessa região). Assim, o caixote mais barato tem base quadrada de lado
e altura
.