Questão 7. Um carpinteiro deseja construir um caixote retangular com um volume de . Três diferentes materiais serão usados. O material para os lados do caixote custa R$1,00 o metro quadrado, o material para o fundo custa 3,00 \mathrm{R} $ 5,00$ o metro quadrado. Quais são as dimensões do caixote mais barato?

Passo 1

O problema pede as dimensões (l,w,h) de um caixote retangular com volume fixo de 32 m^3 que minimizam o custo de fabricação, dado que o fundo, a tampa e as quatro laterais têm materiais com preços diferentes. Vamos usar otimização com restrição (método de substituição e derivadas parciais) para resolver.

Passo 2

Escolhemos como variáveis as dimensões da base: l (comprimento), w (largura) e h (altura).
A restrição de volume é
l w h = 32
O custo total C é a soma dos custos de cada face:
  • fundo: área lw a R$3,00/m^2, custo 3lw;
  • tampa: área lw a R$5,00/m^2, custo 5lw;
  • quatro laterais: duas faces ltimes h e duas faces wtimes h, área total 2lh+2wh a R$1,00/m^2, custo 2lh+2wh.
    Portanto,
C = 3lw + 5lw + 2lh + 2wh = 8lw + 2h,(l+w)

Passo 3

Da restrição de volume, expressamos h em função de l e w:
h = 32l w
Substituindo em C obtemos
C(l,w) = 8,l w ;+; 2;32l w,(l+w) = 8lw ;+; 64,(l+w)l w
Para simplificar, note que
64,(l+w)l w = 64w + 64l
Logo
C(l,w) = 8lw + 64l + 64w

Passo 4

Para minimizar C(l,w) no primeiro quadrante, igualamos as derivadas parciais a zero.
  1. Derivada parcial em relação a l:
partial Cpartial l = 8w - 64l^2 =0 Longrightarrow 8w = 64l^2 Longrightarrow w = 8l^2
  1. Derivada parcial em relação a w:
partial Cpartial w = 8l - 64w^2 =0 Longrightarrow l = 8w^2
Substituindo w = 8/l^2 na segunda equação:
l = 8l(8l^2r)^2 = 864l^4 = 8,l^464 = l^48 Longrightarrow l^4 = 8l Longrightarrow l^3 = 8 Longrightarrow l = 2
Então
w = 8l^2 = 84 = 2
E finalmente
h = 32l w = 322cdot2 = 8

Passo 5

Verificamos que (l,w,h)=(2,2,8) de fato satisfaz a restrição e dá um mínimo (pela positividade e formato convexo da função custo nessa região). Assim, o caixote mais barato tem base quadrada de lado 2 m e altura 8 m.

Resposta

l=2 m, w=2 m, h=8 m

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