A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio \mathrm{R}=2,0 \mathrm{~mm} é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 2,0 \times 10^{5} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radias \mathrm{R} / 2 e R ? ( \mathrm{i}=\int \vec{J} \cdot \hat{n} d A )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: densidade de corrente uniforme \vec{J} com módulo J=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • Dado: raio do fio R=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Pedido: corrente que passa na parte externa do fio, isto é, na seção anelar entre as distâncias radiais R/2 e R. A expressão a usar é i=\int \vec{J}\cdot\hat{n}\,dA.

Passo 2

Entendendo a fórmula e simplificando por uniformidade.
  • A densidade de corrente \vec{J} é definida como corrente por unidade de área; suas unidades são \mathrm{A/m^{2}}.
  • A corrente através de uma área A é I=\int \vec{J}\cdot\hat{n}\,dA. Aqui \hat{n} é o vetor normal à área; o produto escalar \vec{J}\cdot\hat{n} dá a componente de \vec{J} que atravessa a área.
  • Como o enunciado diz que \vec{J} é uniforme e, numa seção reta do fio, \vec{J} é perpendicular à seção (logo paralelo a \hat{n}), temos \vec{J}\cdot\hat{n}=J constante sobre a região considerada. Portanto a integral se reduz a
I = J \times A_{\text{anel}},
onde A_{\text{anel}} é a área do anel entre r=R/2 e r=R.

Passo 3

Cálculo da área do anel usando coordenadas polares (explicando por que aparece r quando integrar).
  • Em coordenadas polares, um elemento de área no plano é dA = r\,dr\,d\theta. Esse fator r aparece porque círculos concêntricos têm perímetros proporcionais a r (é o jacobiano da transformação polar).
  • A área do anel é a integral
A_{\text{anel}}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=R/2}^{R} r\,dr\,d\theta.
  • Executando a integral em r:
\int_{r=R/2}^{R} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{R/2}^{R} = \tfrac{1}{2}\bigl(R^{2}-(R/2)^{2}\bigr).
  • Agora a integral em \theta dá um fator 2\pi, então
A_{\text{anel}} = 2\pi \times \tfrac{1}{2}\bigl(R^{2}-(R/2)^{2}\bigr) = \pi\bigl(R^{2}-(R/2)^{2}\bigr).
  • Simplificando (R/2)^{2}=R^{2}/4, obtemos
A_{\text{anel}} = \pi R^{2}\left(1-\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{3}{4}\pi R^{2}.

Passo 4

Calcular a corrente substituindo valores numéricos (conversão de unidades e contas passo a passo).
  • Primeiro, converter R para metros: R=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular R^{2}:
R^{2}=(2{,}0\times10^{-3})^{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular a área do anel:
A_{\text{anel}}=\tfrac{3}{4}\pi R^{2}=\tfrac{3}{4}\pi\times4{,}0\times10^{-6}=\;3{,}0\times10^{-6}\,\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a corrente:
I = J\,A_{\text{anel}} = \bigl(2{,}0\times10^{5}\bigr)\times\bigl(3{,}0\times10^{-6}\pi\bigr).
  • Multiplicando os fatores numéricos:
2{,}0\times10^{5}\times3{,}0\times10^{-6}=6{,}0\times10^{-1}=0{,}6.
Portanto
I = 0{,}6\,\pi\\ \mathrm{A}\approx 0{,}6\times3{,}1416=1{,}88496\\ \mathrm{A}.
  • Com os dados apresentados (duas casas significativas), arredondando para duas cifras significativas obtemos I\approx1{,}9\\ \mathrm{A}.

Resposta

1{,}9\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados