A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a
. Qual é a corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radias
e R ? (
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: densidade de corrente uniforme
com módulo . - Dado: raio do fio
. - Pedido: corrente que passa na parte externa do fio, isto é, na seção anelar entre as distâncias radiais
e . A expressão a usar é .
Passo 2
Entendendo a fórmula e simplificando por uniformidade.
- A densidade de corrente
é definida como corrente por unidade de área; suas unidades são . - A corrente através de uma área
é . Aqui é o vetor normal à área; o produto escalar dá a componente de que atravessa a área. - Como o enunciado diz que
é uniforme e, numa seção reta do fio, é perpendicular à seção (logo paralelo a ), temos constante sobre a região considerada. Portanto a integral se reduz a
onde
é a área do anel entre
e
.
Passo 3
Cálculo da área do anel usando coordenadas polares (explicando por que aparece
quando integrar).
- Em coordenadas polares, um elemento de área no plano é
. Esse fator aparece porque círculos concêntricos têm perímetros proporcionais a (é o jacobiano da transformação polar). - A área do anel é a integral
- Executando a integral em
:
- Agora a integral em
dá um fator , então
- Simplificando
, obtemos
Passo 4
Calcular a corrente substituindo valores numéricos (conversão de unidades e contas passo a passo).
- Primeiro, converter
para metros: . - Calcular
:
- Calcular a área do anel:
- Agora a corrente:
- Multiplicando os fatores numéricos:
Portanto
- Com os dados apresentados (duas casas significativas), arredondando para duas cifras significativas obtemos
.