Questão 9. A luz percorre uma determinada distância em 5000 anos. Supondo que exista tecnologia para viajar a velocidades bem próximas à da luz, seria possível um astronauta percorrer este caminho em 10 anos? Explique

Passo 1

O enunciado diz que a luz leva 5000 anos para percorrer uma certa distância d. Queremos saber se um astronauta, viajando a uma velocidade muito próxima à da luz, poderia fazer esse trajeto em apenas 10 anos de seu relógio interno. O conteúdo necessário é a Relatividade Restrita, em particular a dilatação de tempo (ou, equivalentemente, contração de comprimento) para um observador em movimento próximo de c.

Passo 2

No referencial da Terra o tempo de viagem é
t = 5000\\ \text{anos},
enquanto o tempo próprio do astronauta é dado por
t' = \frac{t}{\gamma},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz e v a velocidade da nave. Queremos que
t' = 10\\ \text{anos}.
Logo,
\gamma = \frac{t}{t'} = \frac{5000}{10} = 500.

Passo 3

Agora obtemos v a partir de
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \quad\Longrightarrow\quad v = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}.
Substituindo \gamma = 500,
v = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{500^2}} \approx 0{,}999998\,c.
No referencial da nave a distância fica contraída em
d' = \frac{d}{\gamma} = \frac{5000\\ \text{anos-luz}}{500} = 10\\ \text{anos-luz},
e o tempo próprio para percorrer d' a essa velocidade é aproximadamente
t' = \frac{d'}{v} \approx \frac{10\,\text{anos-luz}}{0{,}999998\,c} \approx 10\\ \text{anos}.

Passo 4

Em princípio, sim: bastaria acelerar a nave até uma velocidade v\approx0{,}999998\,c, o que faz o tempo de viagem registrado pelo astronauta cair para cerca de 10 anos. Na prática, porém, as exigências de energia para chegar tão perto de c (e depois frear) são astronômicas, além de não termos tecnologia nem combustível suficiente.

Resposta

Sim. De acordo com a Relatividade Restrita, ao viajar a v\approx0{,}999998\,c o fator \gamma fica em 500, comprimindo o tempo próprio para cerca de 10 anos, embora os requisitos energéticos sejam inviáveis com a tecnologia atual.

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