Questão 2. O maior valor inteiro de
para o qual o domínio da função
é o conjunto de todos os números reais:
A é 4 .
B é 5 .
C é 6 .
D não existe.
E NDA
B é 5 .
C é 6 .
D não existe.
E NDA
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pergunta qual é o maior valor inteiro de
tal que o domínio de
seja o conjunto de todos os números reais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios (num/den).
- O denominador é o polinômio quadrático
. - Queremos o maior inteiro
tal que o domínio seja “todos os reais” (ou seja, não haja em que torne o denominador zero). - As alternativas fornecidas (para referência) são:
é , é , é , não existe, NDA.
Passo 2
Conceito-chave sobre domínio de uma função racional: o domínio de uma expressão da forma
é o conjunto de todos os
reais tais que
. Mesmo que
e
tenham fatores comuns que se cancelem algébrica-mente, a expressão original ainda fica indefinida nos pontos onde
(a menos que a função seja explicitamente re-definida nesses pontos). Logo, para que o domínio seja todo
precisamos que o denominador
não tenha raízes reais.
Passo 3
Como determinar se a quadrática
tem raízes reais? Use a fórmula da discriminante. Para uma quadrática geral
, define-se a discriminante
onde
são os coeficientes. As possibilidades:
- Se
, a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
, tem uma raiz real (dupla). - Se
, não tem raízes reais (raízes complexas conjugadas).
Aqui
,
(o mesmo
do enunciado) e
. Portanto
Passo 4
Queremos que não haja raízes reais, então exigimos
. Assim:
Isto significa que
. Calculando a raiz:
Passo 5
Agora deduzimos quais inteiros
satisfazem
. Os inteiros com valor absoluto menor que
são
Desses, o maior inteiro é
.
Passo 6
Verificação rápida:
- Para
: . Logo o denominador não zera em e o domínio é todo . - Para
: . Nesse caso o denominador tem raízes reais e o domínio deixa de ser todo . Portanto não serve.
Observação sobre cancelamento: mesmo que para algum valor de
a quadrática tivesse uma raiz que também anulasse o numerador, a expressão original
ainda seria indefinida naquele
(a menos que a função fosse reescrita e explicitamente definida naquele ponto). Então o único jeito seguro de ter domínio todo
é não ter zeros reais no denominador.
Resposta
B é
.