Questão 2. O maior valor inteiro de \mathbf{b} para o qual o domínio da função f(x)=\frac{9 x^{3}+4 x^{2}+11 x+7}{x^{2}+b x+8} é o conjunto de todos os números reais:
A é 4 .
B é 5 .
C é 6 .
D não existe.
E NDA

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{9x^{3}+4x^{2}+11x+7}{x^{2}+b x+8} e pergunta qual é o maior valor inteiro de b tal que o domínio de f seja o conjunto de todos os números reais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios (num/den).
  • O denominador é o polinômio quadrático x^{2}+b x+8.
  • Queremos o maior inteiro b tal que o domínio seja “todos os reais” (ou seja, não haja x em \mathbb{R} que torne o denominador zero).
  • As alternativas fornecidas (para referência) são: A é 4, B é 5, C é 6, D não existe, E NDA.

Passo 2

Conceito-chave sobre domínio de uma função racional: o domínio de uma expressão da forma \dfrac{P(x)}{Q(x)} é o conjunto de todos os x reais tais que Q(x)\neq0. Mesmo que P e Q tenham fatores comuns que se cancelem algébrica-mente, a expressão original ainda fica indefinida nos pontos onde Q(x)=0 (a menos que a função seja explicitamente re-definida nesses pontos). Logo, para que o domínio seja todo \mathbb{R} precisamos que o denominador x^{2}+b x+8 não tenha raízes reais.

Passo 3

Como determinar se a quadrática x^{2}+b x+8 tem raízes reais? Use a fórmula da discriminante. Para uma quadrática geral a x^{2}+\beta x + c, define-se a discriminante
\Delta=\beta^{2}-4ac,
onde a,\beta,c são os coeficientes. As possibilidades:
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0, tem uma raiz real (dupla).
  • Se \Delta<0, não tem raízes reais (raízes complexas conjugadas).
Aqui a=1, \beta=b (o mesmo b do enunciado) e c=8. Portanto
\Delta=b^{2}-4\cdot1\cdot8=b^{2}-32.

Passo 4

Queremos que não haja raízes reais, então exigimos \Delta<0. Assim:
b^{2}-32<0 \quad\Rightarrow\quad b^{2}<32.
Isto significa que |b|<\sqrt{32}. Calculando a raiz:
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\approx4\cdot1{,}4142\approx5{,}657.

Passo 5

Agora deduzimos quais inteiros b satisfazem |b|<4\sqrt{2}. Os inteiros com valor absoluto menor que 5{,}657 são
b\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}.
Desses, o maior inteiro é b=5.

Passo 6

Verificação rápida:
  • Para b=5: \Delta=5^{2}-32=25-32=-7<0. Logo o denominador não zera em \mathbb{R} e o domínio é todo \mathbb{R}.
  • Para b=6: \Delta=6^{2}-32=36-32=4>0. Nesse caso o denominador tem raízes reais e o domínio deixa de ser todo \mathbb{R}. Portanto b=6 não serve.
Observação sobre cancelamento: mesmo que para algum valor de b a quadrática tivesse uma raiz que também anulasse o numerador, a expressão original \dfrac{P(x)}{Q(x)} ainda seria indefinida naquele x (a menos que a função fosse reescrita e explicitamente definida naquele ponto). Então o único jeito seguro de ter domínio todo \mathbb{R} é não ter zeros reais no denominador.

Resposta

B é 5.

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