(2 pontos) A função f(x)=e^{x}-\operatorname{sen}(x)-2 possui alguma raiz real? Se sim, determine um intervalo de tamanho menor do que 0.5 que a contenha.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-\operatorname{sen}(x)-2 e pergunta se existe alguma raiz real. Se existir, pede um intervalo de comprimento menor que 0,5 que contenha essa raiz.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{x}-\operatorname{sen}(x)-2.
O que precisa ser respondido:
  • Existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=0?
  • Se sim, fornecer um intervalo de tamanho menor que 0,5 que contenha essa raiz.

Passo 2

Vamos usar uma ideia central: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vou explicar ele de forma simples:
  • Se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e os valores g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) com g\text{(c)}=0.
    Por isso precisamos:
  1. Ver que f é contínua nos intervalos que usarmos.
  2. Encontrar dois pontos a<b com f(a)\cdot f(b)<0.
Motivo da continuidade: e^{x}, \operatorname{sen}(x) e a função constante são contínuas em \mathbb{R}; soma e diferença de funções contínuas é contínua. Logo f é contínua em \mathbb{R} e o TVI pode ser aplicado em qualquer intervalo fechado.

Passo 3

Primeiro, observe que qualquer possível raiz deve satisfazer
e^{x}=2+\operatorname{sen}(x).
Como \operatorname{sen}(x)\in[-1,1] para todo x, o lado direito 2+\operatorname{sen}(x) pertence ao intervalo [1,3]. Portanto, se f(x)=0 então e^{x}\ge 1, o que implica x\ge 0. Conclusão: não existem raízes com x<0. Isso reduz nossa busca para x\ge 0.

Passo 4

Agora vamos calcular f em alguns pontos de x\ge 0 para procurar uma troca de sinal.
Calculemos f(0):
f(0)=e^{0}-\operatorname{sen}(0)-2=1-0-2=-1.
Portanto f(0)=-1<0.
Calculemos f(1). Usando aproximações conhecidas:
e^{1}\approx 2,71828183,\qquad \operatorname{sen}(1)\approx 0,84147098.
Logo
f(1)=e^{1}-\operatorname{sen}(1)-2\approx 2,71828183-0,84147098-2\approx -0,12318915.
Então f(1) também é negativo (aprox. -0,123).
Calculemos f(1,2). Aproximações:
e^{1,2}\approx 3,32011692,\qquad \operatorname{sen}(1,2)\approx 0,93203909.
Logo
f(1,2)=e^{1,2}-\operatorname{sen}(1,2)-2\approx 3,32011692-0,93203909-2\approx 0,38807783.
Assim f(1,2) é positivo (aprox. 0,388).
Portanto encontramos uma troca de sinal entre x=1 e x=1,2: f(1)\approx -0,123<0 e f(1,2)\approx 0,388>0.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua e f(1)\cdot f(1,2)<0, existe pelo menos um c\in(1,1,2) tal que f\text{(c)}=0. O intervalo (1,1,2) (ou o fechado [1,1,2]) tem comprimento 1,2-1=0,2, que é menor que 0,5. Portanto já temos o intervalo desejado.
Para reforçar (importante na prova): a raiz é única. Justificativa curta:
  • Qualquer raiz satisfaz e^{x}=2+\operatorname{sen}(x), daí x\ge 0 como mostrado.
  • Para x>0 tem-se
f'(x)=e^{x}-\cos(x)\ge e^{x}-1>0,
pois e^{x}>1 quando x>0. Assim f é estritamente crescente em (0,\infty). Como f(0)=-1<0 e f(1,2)>0, só pode haver uma única raiz em (0,\infty). Logo a raiz encontrada em (1,1,2) é a única raiz real.

Resposta

[1,\,1,2]

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