(2 pontos) A função
possui alguma raiz real? Se sim, determine um intervalo de tamanho menor do que 0.5 que a contenha.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se existe alguma raiz real. Se existir, pede um intervalo de comprimento menor que
que contenha essa raiz.
Informações dadas:
- A função é
.
O que precisa ser respondido:
- Existe
tal que ? - Se sim, fornecer um intervalo de tamanho menor que
que contenha essa raiz.
Passo 2
Vamos usar uma ideia central: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Vou explicar ele de forma simples:
- Se uma função
é contínua em um intervalo fechado e os valores e têm sinais opostos (ou seja ), então existe pelo menos um ponto com .
Por isso precisamos:
- Ver que
é contínua nos intervalos que usarmos. - Encontrar dois pontos
com .
Motivo da continuidade:
,
e a função constante são contínuas em
; soma e diferença de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em
e o TVI pode ser aplicado em qualquer intervalo fechado.
Passo 3
Primeiro, observe que qualquer possível raiz deve satisfazer
Como
para todo
, o lado direito
pertence ao intervalo
. Portanto, se
então
, o que implica
. Conclusão: não existem raízes com
. Isso reduz nossa busca para
.
Passo 4
Agora vamos calcular
em alguns pontos de
para procurar uma troca de sinal.
Calculemos
:
Portanto
.
Calculemos
. Usando aproximações conhecidas:
Logo
Então
também é negativo (aprox.
).
Calculemos
. Aproximações:
Logo
Assim
é positivo (aprox.
).
Portanto encontramos uma troca de sinal entre
e
:
e
.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e
, existe pelo menos um
tal que
. O intervalo
(ou o fechado
) tem comprimento
, que é menor que
. Portanto já temos o intervalo desejado.
Para reforçar (importante na prova): a raiz é única. Justificativa curta:
- Qualquer raiz satisfaz
, daí como mostrado. - Para
tem-se
pois
quando
. Assim
é estritamente crescente em
. Como
e
, só pode haver uma única raiz em
. Logo a raiz encontrada em
é a única raiz real.