Questão 4(\mathbf{2 , 5}) : Considere a curva \mathcal{C} obtida pela intersecção das superfícies z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=y+1.
(a) Determine uma parametrização \vec{r}(t) para \mathcal{C};
(b) Encontre a equação do plano normal a \mathcal{C} no ponto P=(3,4,5);
(c) Mostre que o plano osculador a \mathcal{C} é o mesmo em todos os pontos. O que podemos concluir disso?

Passo 1

O enunciado trata da curva \mathcal{C} dada pela intersecção das superfícies
z = \sqrt{x^2 + y^2} \quad\text{e}\quad z = y + 1.
(a) Pede-se uma parametrização \vec r(t) de \mathcal{C}.
(b) Queremos a equação do plano normal à curva em P=(3,4,5).
(c) Há que mostrar que o plano osculador é o mesmo em todos os pontos e interpretar o resultado (torsão).
Conteúdo necessário: intersecção de superfícies, parametrização de curvas em coordenadas cilíndricas/trigonométricas, vetor tangente \vec r'(t), plano normal, definição de plano osculador e noções de torsão.

Passo 2

Para parametrizar \mathcal{C} usamos coordenadas polares no cone. Seja r=\sqrt{x^2+y^2} e escrevamos
x = r\cos t,\quad y = r\sin t,\quad z = r.
Como também z = y + 1, temos r = r\sin t +1, ou
r\,(1-\sin t)=1 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac1{1-\sin t}.
Logo uma parametrização válida é
\vec r(t) =\Bigl(\frac{\cos t}{1-\sin t},\;\frac{\sin t}{1-\sin t},\;\frac1{1-\sin t}\Bigr),
com t num intervalo onde 1-\sin t\neq0.

Passo 3

O vetor tangente é \vec r'(t). Calculando derivadas:
\vec r'(t) =\Bigl(\tfrac{\d}{\d t}\tfrac{\cos t}{1-\sin t},\;\tfrac{\d}{\d t}\tfrac{\sin t}{1-\sin t},\;\tfrac{\d}{\d t}\tfrac1{1-\sin t}\Bigr) =\Bigl(\tfrac1{1-\sin t},\;\tfrac{\cos t}{1-\sin t},\;\tfrac{\cos t}{(1-\sin t)^2}\Bigr).
Precisamos de t_0 tal que \vec r(t_0)=(3,4,5). Da componente y:
4 = \frac{\sin t_0}{1-\sin t_0} \;\Longrightarrow\; 4(1-\sin t_0)=\sin t_0 \;\Longrightarrow\; \sin t_0=\tfrac45,\quad \cos t_0=\tfrac35.
Então em t_0:
\vec r'(t_0) =\Bigl(\tfrac1{1-\tfrac45},\;\tfrac{\tfrac35}{1-\tfrac45},\;\tfrac{\tfrac35}{(1-\tfrac45)^2}\Bigr) =(5,3,15).
Como o plano normal à curva tem como vetor normal \vec r'(t_0), sua equação em P=(3,4,5) é
5\,(x-3)+3\,(y-4)+15\,(z-5)=0.

Passo 4

O plano osculador num ponto é o plano gerado por \vec r'(t) e \vec r''(t). Mas a curva inteira está contida na superfície plana z=y+1, cujo plano tangente é ela mesma e tem normal constante (0,-1,1). Portanto tanto \vec r'(t) como \vec r''(t) estão nesse mesmo plano z-y-1=0. Concluímos que o osculador não varia com t: é sempre
z - y -1 = 0.
Isto implica que a torsão da curva é zero e, portanto, \mathcal{C} é uma curva planar.

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t)=\Bigl(\frac{\cos t}{1-\sin t},\;\frac{\sin t}{1-\sin t},\;\frac1{1-\sin t}\Bigr).
(b) 5(x-3)+3(y-4)+15(z-5)=0.
(c) O plano osculador é sempre z-y-1=0; logo \mathcal{C} é uma curva planar (torsão nula).

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