Questão
: Considere a curva
obtida pela intersecção das superfícies
e
.
(a) Determine uma parametrização
para
;
(b) Encontre a equação do plano normal a
no ponto
;
(c) Mostre que o plano osculador a
é o mesmo em todos os pontos. O que podemos concluir disso?
(a) Determine uma parametrização
(b) Encontre a equação do plano normal a
(c) Mostre que o plano osculador a
Passo 1
O enunciado trata da curva
dada pela intersecção das superfícies
(a) Pede-se uma parametrização
de
.
(b) Queremos a equação do plano normal à curva em .
(c) Há que mostrar que o plano osculador é o mesmo em todos os pontos e interpretar o resultado (torsão).
(b) Queremos a equação do plano normal à curva em
(c) Há que mostrar que o plano osculador é o mesmo em todos os pontos e interpretar o resultado (torsão).
Conteúdo necessário: intersecção de superfícies, parametrização de curvas em coordenadas cilíndricas/trigonométricas, vetor tangente
, plano normal, definição de plano osculador e noções de torsão.
Passo 2
Para parametrizar
usamos coordenadas polares no cone. Seja
e escrevamos
Como também
, temos
, ou
Logo uma parametrização válida é
com
num intervalo onde
.
Passo 3
O vetor tangente é
. Calculando derivadas:
Precisamos de
tal que
. Da componente
:
Então em
:
Como o plano normal à curva tem como vetor normal
, sua equação em
é
Passo 4
O plano osculador num ponto é o plano gerado por
e
. Mas a curva inteira está contida na superfície plana
, cujo plano tangente é ela mesma e tem normal constante
. Portanto tanto
como
estão nesse mesmo plano
. Concluímos que o osculador não varia com
: é sempre
Isto implica que a torsão da curva é zero e, portanto,
é uma curva planar.
Resposta
(a)
(b)
(c) O plano osculador é sempre ; logo
é uma curva planar (torsão nula).
(b)
(c) O plano osculador é sempre