Questão 2(\mathbf{3 , 0}) : Considere a curva \mathcal{C}_{1} parametrizada por
\vec{r}(t)=\left(e^{2 t}, 4 e^{t}, 4 t\right), \quad t \in \mathbb{R} .
Calcule o comprimento do arco de \mathcal{C}_{1} com 0 \leq t \leq \ln (2);

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva \mathcal{C}_{1} dada por
\vec{r}(t)=\bigl(e^{2t},\,4e^{t},\,4t\bigr), \quad t\in[0,\ln2].
O conteúdo usado será a fórmula de comprimento de arco para parametrizações, que é
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) =\bigl(2e^{2t},\,4e^{t},\,4\bigr).

Passo 3

O quadrado do módulo é
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{2} =(2e^{2t})^{2}+(4e^{t})^{2}+4^{2} =4e^{4t}+16e^{2t}+16.

Passo 4

Reconhecemos um quadrado perfeito:
4e^{4t}+16e^{2t}+16 =4\bigl(e^{2t}+2\bigr)^{2},
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\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =2\bigl(e^{2t}+2\bigr).

Passo 5

O comprimento de arco fica
L =\int_{0}^{\ln2}2\bigl(e^{2t}+2\bigr)\,dt.

Passo 6

Calculamos a primitiva:
\int2(e^{2t}+2)\,dt =2\Bigl(\tfrac12e^{2t}+2t\Bigr) =e^{2t}+4t.
Avaliando de 0 a \ln2
\bigl(e^{2\ln2}+4\ln2\bigr)-\bigl(e^{0}+0\bigr) =(4+4\ln2)-1 =3+4\ln2.

Resposta

3 + 4\ln2

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