Questão 1(\mathbf{1 , 0}) : Mostre que se uma curva tem a propriedade de o módulo de \vec{r}(t) ser constante, então seu vetor posição \vec{r}(t) é sempre ortogonal ao seu vetor derivada \vec{r}^{\prime}(t).
Passo 1
O enunciado diz que temos uma curva dada por \vec{r}(t) tal que o módulo \bigl\lVert\vec{r}(t)\bigr\rVert é uma constante (digamos R) para todo t. Precisamos mostrar que isso implica
\vec{r}(t)\,\perp\,\vec{r}'(t),
ou seja, \vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0. Vamos usar a propriedade de derivada do produto interno e o fato de que a norma ao quadrado é o produto interno de \vec{r}(t) por si mesma.
Passo 2
Se \lVert\vec{r}(t)\rVert é constante igual a R, então
Agora derivamos ambos os lados em relação a t. Como R^2 é constante, sua derivada é zero. Do lado esquerdo usamos a regra da derivada do produto interno: