Questão 1(\mathbf{1 , 0}) : Mostre que se uma curva tem a propriedade de o módulo de \vec{r}(t) ser constante, então seu vetor posição \vec{r}(t) é sempre ortogonal ao seu vetor derivada \vec{r}^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva dada por \vec{r}(t) tal que o módulo \bigl\lVert\vec{r}(t)\bigr\rVert é uma constante (digamos R) para todo t. Precisamos mostrar que isso implica
\vec{r}(t)\,\perp\,\vec{r}'(t),
ou seja, \vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0. Vamos usar a propriedade de derivada do produto interno e o fato de que a norma ao quadrado é o produto interno de \vec{r}(t) por si mesma.

Passo 2

Se \lVert\vec{r}(t)\rVert é constante igual a R, então
\lVert\vec{r}(t)\rVert^2 = R^2,
mas também
\lVert\vec{r}(t)\rVert^2 = \vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t).
Logo temos a igualdade em todos os instantes t:
\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t) = R^2.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a t. Como R^2 é constante, sua derivada é zero. Do lado esquerdo usamos a regra da derivada do produto interno:
\frac{d}{dt}\bigl[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)\bigr] = \vec{r}\,'(t)\cdot\vec{r}(t) + \vec{r}(t)\cdot\vec{r}\,'(t) = 2\,\bigl[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}\,'(t)\bigr].
Portanto
2\,\bigl[\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)\bigr] = 0.

Passo 4

Dividindo por 2 chegamos a
\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t) = 0,
o que diz exatamente que o vetor posição é ortogonal ao seu vetor derivada em todo t.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0, ou seja, \vec{r}(t)\perp\vec{r}'(t).

Exercícios relacionados