Questão 2(\mathbf{2 , 5}) :
Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}(t)+4 y(t)=2, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução do problema de valor inicial:
y''(t)+4y(t)=2,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com termo forçante constante 2.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
  • Pedido: encontrar y(t) para t\ge0.

Passo 2

Vou relembrar (de forma bem didática) as propriedades da transformada de Laplace que vou usar.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e F(s) é a imagem de f.
Propriedades úteis:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada de derivadas (importante para resolver EDOs com condições iniciais): \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformadas de funções básicas (tabela rápida): \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Explicando as variáveis: y(t) é a solução no tempo, Y(s) é sua transformada; s é o parâmetro da transformada. As fórmulas das derivadas mostram como as condições iniciais aparecem diretamente na equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando linearidade:
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)+4\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=2\mathcal{L}\{1\}(s).
Agora substituir as fórmulas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+4Y(s)=2\cdot\frac{1}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
(s^{2}+4)Y(s)=\frac{2}{s}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s(s^{2}+4)}.

Passo 4

Precisamos calcular a antitransformada de Y(s). Para isso fazemos decomposição em frações parciais:
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{2}{s(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+4) obtemos
2=A(s^{2}+4)+(Bs+C)s.
Expandindo e agrupando coeficientes:
2=(A+B)s^{2}+C s+4A.
Igualando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0 \Rightarrow B=-A.
  • Coeficiente de s: C=0.
  • Termo constante: 4A=2 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
Logo A=\tfrac{1}{2}, B=-\tfrac{1}{2}, C=0. Substituindo:
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a tabela:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at). Aqui a=2.
Portanto,
y(t)=\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cos(2t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Uma forma trigonométrica equivalente, usando a identidade \sin^{2}t=\tfrac{1-\cos(2t)}{2}, é
y(t)=\sin^{2}t.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): calcular y(0), y'(0) e y''+4y.
  • y(0)=\sin^{2}0=0.
  • y'(t)=2\sin t\cos t=\sin(2t), então y'(0)=0.
  • y''(t)=2\cos(2t). Então y''(t)+4y(t)=2\cos(2t)+4\cdot\frac{1-\cos(2t)}{2}=2\cos(2t)+2-2\cos(2t)=2,que coincide com o termo forçante. Tudo conferido.

Resposta

y(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}=\sin^{2}t

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