Questão
:
Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução do problema de valor inicial:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com termo forçante constante
. - As condições iniciais são
e . - Pedido: encontrar
para .
Passo 2
Vou relembrar (de forma bem didática) as propriedades da transformada de Laplace que vou usar.
Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é a variável complexa da transformada e
é a imagem de
.
Propriedades úteis:
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (importante para resolver EDOs com condições iniciais):
onde
.
- Transformadas de funções básicas (tabela rápida):
Explicando as variáveis:
é a solução no tempo,
é sua transformada;
é o parâmetro da transformada. As fórmulas das derivadas mostram como as condições iniciais aparecem diretamente na equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando linearidade:
Agora substituir as fórmulas e as condições iniciais
,
:
Como
e
, isso simplifica para
Isolando
:
Passo 4
Precisamos calcular a antitransformada de
. Para isso fazemos decomposição em frações parciais:
Procuramos constantes tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo e agrupando coeficientes:
Igualando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logo
,
,
. Substituindo:
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a tabela:
-
. -
. Aqui .
Portanto,
Uma forma trigonométrica equivalente, usando a identidade
, é
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): calcular
,
e
.
-
. -
, então . -
. Então que coincide com o termo forçante. Tudo conferido.