Questão 6 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Considere 2 \cdot m_{B}=m_{A}, v_{0}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{B}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Nestas condições, qual é a velocidade ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ) do pedaço A após a separação?
(a) 0,0 \hat{\imath}
(b) 15,0 \hat{\imath}
(c) -15,0 \hat{\imath}
(d) 20,0 \hat{\imath}
(e) -12,5 \hat{\imath}
(f) 12,5 \hat{\imath}
(g) 5,00 \hat{\imath}
(h) -5,00 \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • 2\cdot m_{B} = m_{A}.
  • v_{0} = 15\\ \mathrm{m/s} (velocidade do corpo antes da separação).
  • v_{B} = 20\\ \mathrm{m/s} (velocidade do pedaço B após a separação).
    O que a questão pede:
  • Encontrar a velocidade do pedaço A após a separação, em \mathrm{m/s}, expressa como um vetor na direção \hat{\imath}. (Ou seja, achar v_{A} tal que a opção correta entre (a)–(h) seja indicada.)

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): quando um corpo se separa em partes devido a forças internas, a quantidade total de movimento linear (impulso) do sistema é conservada, desde que não haja forças externas significativas atuando durante o instante da separação. A quantidade de movimento linear (momento) de uma partícula é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para um sistema de partículas, o momento total é a soma dos momentos de cada parte.
Fórmula geral de conservação de momento (explicando variáveis):
\text{momento inicial} = \text{momento final}
Ou seja,
M_{\text{tot}}\,v_{0} = m_{A}\,v_{A} + m_{B}\,v_{B},
onde:
  • M_{\text{tot}} é a massa total antes da separação,
  • v_{0} é a velocidade inicial do conjunto,
  • m_{A} e m_{B} são as massas das partes A e B,
  • v_{A} e v_{B} são as velocidades finais de A e B (todas medidas ao longo da mesma direção \hat{\imath}).

Passo 3

Expressar as massas em termos de uma incógnita simples para facilitar as contas. Seja m_{B}=m. Então, pela condição dada,
m_{A}=2\cdot m_{B}=2m.
A massa total antes da separação é
M_{\text{tot}}=m_{A}+m_{B}=2m+m=3m.

Passo 4

Escrever a equação de conservação de momento usando os valores conhecidos:
M_{\text{tot}}\,v_{0}=m_{A}\,v_{A}+m_{B}\,v_{B}.
Substituindo M_{\text{tot}}=3m, m_{A}=2m, m_{B}=m, v_{0}=15\\ \mathrm{m/s} e v_{B}=20\\ \mathrm{m/s}, obtemos
3m\cdot 15 = 2m\cdot v_{A} + m\cdot 20.

Passo 5

Simplificar a equação: primeiro fazer as multiplicações no lado esquerdo e no termo conhecido do lado direito,
45m = 2m\,v_{A} + 20m.
Agora podemos dividir toda a equação por m (assumindo m\neq0), o que elimina m:
45 = 2\,v_{A} + 20.

Passo 6

Resolver a equação para v_{A}:
2\,v_{A} = 45 - 20 = 25,
logo
v_{A} = \frac{25}{2} = 12,5\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que v_{A} tem a mesma direção de v_{0} (ou seja, no sentido de \hat{\imath}). Escrevendo como vetor unitário:
v_{A} = 12,5\\ \hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final rápida e dica para a prova: a separação não altera o momento total; passou-se apenas a redistribuir a velocidade entre as massas. Uma forma rápida em prova é sempre expressar as massas por uma incógnita (aqui m) quando há razão entre elas, simplificar por m e resolver a equação linear resultante.

Resposta

(f) 12,5\\ \hat{\imath}

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