Y&F 1.28) São dados os vetores vec{a}=4 m \hat{\imath}-3 m \hat{\jmath} e vec{b}=6 m \hat{\imath}-8 m \hat{\jmath}. Determine:
O módulo do vetor \vec{s}=\vec{a}-\vec{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{a}=4\\ \text{m}\,\hat{\imath}-3\\ \text{m}\,\hat{\jmath}
e
\vec{b}=6\\ \text{m}\,\hat{\imath}-8\\ \text{m}\,\hat{\jmath}.
A pergunta é: qual o módulo do vetor \vec{s}=\vec{a}-\vec{b}? Ou seja, primeiro vamos encontrar \vec{s} e depois calcular |\vec{s}|.

Passo 2

Relembrando como subtrair vetores no plano: se
\vec{a}=a_x\,\hat{\imath}+a_y\,\hat{\jmath}\quad\text{e}\quad \vec{b}=b_x\,\hat{\imath}+b_y\,\hat{\jmath},
então a subtração é feita componente a componente:
\vec{s}=\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\,\hat{\imath}+(a_y-b_y)\,\hat{\jmath}.
Isto acontece porque vetores no plano se representam pelas suas projeções nas direções \hat{\imath} e \hat{\jmath}; subtrair vetores é subtrair essas projeções separadamente (é como subtrair pares de coordenadas).

Passo 3

Identificando as componentes dos vetores fornecidos:
a_x=4\\ \text{m},\qquad a_y=-3\\ \text{m},
b_x=6\\ \text{m},\qquad b_y=-8\\ \text{m}.
Aplicando a fórmula da subtração:
s_x=a_x-b_x=4\\ \text{m}-6\\ \text{m}=-2\\ \text{m},
s_y=a_y-b_y=(-3\\ \text{m})-(-8\\ \text{m})=-3\\ \text{m}+8\\ \text{m}=5\\ \text{m}.
Logo
\vec{s}=-2\\ \text{m}\,\hat{\imath}+5\\ \text{m}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Agora o módulo (comprimento) de um vetor plano \vec{s}=s_x\,\hat{\imath}+s_y\,\hat{\jmath} é dado pela fórmula do teorema de Pitágoras:
|\vec{s}|=\sqrt{s_x^2+s_y^2}.
Explicando rápido: s_x e s_y são as duas “pernas” de um triângulo retângulo cujo valor da hipotenusa é o módulo do vetor; por isso somamos os quadrados e tiramos a raiz.

Passo 5

Substituindo s_x=-2\\ \text{m} e s_y=5\\ \text{m}:
|\vec{s}|=\sqrt{(-2\\ \text{m})^2+(5\\ \text{m})^2} =\sqrt{4\\ \text{m}^2+25\\ \text{m}^2} =\sqrt{29\\ \text{m}^2}.
Como \sqrt{29\\ \text{m}^2}=\sqrt{29}\\ \text{m}, o módulo pedido é \sqrt{29}\\ \text{m}.
(se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{29}\approx5{,}39\\ \text{m}).

Resposta

\sqrt{29}\\ \text{m}

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