Um objeto é atirado para baixo com velocidade inicial de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do alto de uma torre de 200 metros, determine:
a) O tempo total de queda
b) A velocidade quando chega ao solo
c) A velocidade após 1 segundo

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • A altura da torre é \,200\\ \mathrm{m}.
    • A velocidade inicial é 15\\ \mathrm{m/s} para baixo.
    • A aceleração da gravidade vale \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo).
  • Perguntas:
    a) determinar o tempo total de queda até o solo;
    b) determinar a velocidade quando chega ao solo;
    c) determinar a velocidade após 1\\ \mathrm{s}.
Observação sobre convenção de sinais que vou usar (importante para não se confundir): vou tomar a direção para cima como positiva. Assim:
  • a posição inicial (topo da torre) é y_0=200\\ \mathrm{m} (medida a partir do solo y=0),
  • a velocidade inicial é \,v_0=-15\\ \mathrm{m/s} (o sinal negativo indica para baixo),
  • a aceleração é \,a=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo).

Passo 2

Fórmulas básicas de cinemática (movimento com aceleração constante). Explico cada uma e o que significam as variáveis:
  • Equação da posição em função do tempo:
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui:
  • y(t) é a altura no tempo t,
  • y_0 é a altura inicial (aqui 200\\ \mathrm{m}),
  • v_0 é a velocidade inicial (aqui -15\\ \mathrm{m/s}),
  • a é a aceleração (aqui -9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • t é o tempo (em segundos).
  • Equação da velocidade em função do tempo:
v(t)=v_0+a t.
Aqui v(t) é a velocidade no tempo t; mesma interpretação dos símbolos.
Essas fórmulas vêm da integração de aceleração constante: aceleração é a derivada da velocidade, e velocidade é a derivada da posição. Para fazer uma prova, decorar essas duas fórmulas e saber o significado de cada termo já resolve a maioria dos problemas de queda livre com velocidade inicial.

Passo 3

a) Calcular o tempo total de queda: a colisão com o solo ocorre quando y(t)=0. Usando a equação da posição e substituindo os valores:
0 = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 = 200 -15\,t -4{,}9\,t^2.
Reescrevendo como equação quadrática padrão:
4{,}9\,t^2 + 15\,t -200 = 0.
Para resolver, uso a fórmula de Bhaskara \,t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, com a=4{,}9, b=15, c=-200.
Calculo do discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 15^2 - 4\cdot 4{,}9 \cdot (-200) = 225 + 3920 = 4145.
Raiz do discriminante (aproximação):
\sqrt{\Delta} \approx 64{,}37.
Raízes:
t = \frac{-15 \pm 64{,}37}{2\cdot 4{,}9} = \frac{-15 \pm 64{,}37}{9{,}8}.
Temos duas raízes: uma negativa (temporalmente sem sentido físico para a queda) e uma positiva. A positiva é
t = \frac{-15 + 64{,}37}{9{,}8} \approx \frac{49{,}37}{9{,}8} \approx 5{,}04\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo total de queda é aproximadamente 5{,}04\\ \mathrm{s}. (A raiz negativa corresponde a um instante anterior t\approx -8{,}10\\ \mathrm{s} e é desprezada.)

Passo 4

b) Velocidade ao chegar ao solo: usar v(t)=v_0+a t com o tempo encontrado.
v_{\text{impact}} = v_0 + a t = -15 -9{,}8\cdot 5{,}04 \approx -15 -49{,}37 \approx -64{,}37\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica direção para baixo; a velocidade escalar (módulo) é 64{,}37\\ \mathrm{m/s}.
(Verificação alternativa — fórmula independente do tempo: v^2=v_0^2+2a\Delta y. Aqui \Delta y=0-200=-200, então
v^2 = (-15)^2 + 2(-9{,}8)(-200)=225+3920=4145,
logo |v|=\sqrt{4145}\approx 64{,}37\\ \mathrm{m/s}, e escolhendo o sinal consistente com o movimento para baixo obtemos v\approx -64{,}37\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

c) Velocidade após 1\\ \mathrm{s}: usar v(t)=v_0+a t com t=1\\ \mathrm{s}:
v(1)= -15 -9{,}8\cdot 1 = -15 -9{,}8 = -24{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Novamente o sinal negativo indica que a velocidade está para baixo; a magnitude é 24{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) t=5{,}04\\ \mathrm{s}
b) v_{\text{impact}}=-64{,}37\\ \mathrm{m/s} (para baixo; |v|=64{,}37\\ \mathrm{m/s})
c) v(1\\ \mathrm{s})=-24{,}8\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

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