Um objeto é atirado para baixo com velocidade inicial de
do alto de uma torre de 200 metros, determine:
a) O tempo total de queda
b) A velocidade quando chega ao solo
c) A velocidade após 1 segundo
a) O tempo total de queda
b) A velocidade quando chega ao solo
c) A velocidade após 1 segundo
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- A altura da torre é
. - A velocidade inicial é
para baixo. - A aceleração da gravidade vale
(para baixo).
- A altura da torre é
- Perguntas:
a) determinar o tempo total de queda até o solo;
b) determinar a velocidade quando chega ao solo;
c) determinar a velocidade após.
Observação sobre convenção de sinais que vou usar (importante para não se confundir): vou tomar a direção para cima como positiva. Assim:
- a posição inicial (topo da torre) é
(medida a partir do solo ), - a velocidade inicial é
(o sinal negativo indica para baixo), - a aceleração é
(para baixo).
Passo 2
Fórmulas básicas de cinemática (movimento com aceleração constante). Explico cada uma e o que significam as variáveis:
- Equação da posição em função do tempo:
Aqui:
-
é a altura no tempo , -
é a altura inicial (aqui ), -
é a velocidade inicial (aqui ), -
é a aceleração (aqui ), -
é o tempo (em segundos). -
Equação da velocidade em função do tempo:
Aqui
é a velocidade no tempo
; mesma interpretação dos símbolos.
Essas fórmulas vêm da integração de aceleração constante: aceleração é a derivada da velocidade, e velocidade é a derivada da posição. Para fazer uma prova, decorar essas duas fórmulas e saber o significado de cada termo já resolve a maioria dos problemas de queda livre com velocidade inicial.
Passo 3
a) Calcular o tempo total de queda: a colisão com o solo ocorre quando
. Usando a equação da posição e substituindo os valores:
Reescrevendo como equação quadrática padrão:
Para resolver, uso a fórmula de Bhaskara
, com
,
,
.
Calculo do discriminante:
Raiz do discriminante (aproximação):
Raízes:
Temos duas raízes: uma negativa (temporalmente sem sentido físico para a queda) e uma positiva. A positiva é
Portanto o tempo total de queda é aproximadamente
. (A raiz negativa corresponde a um instante anterior
e é desprezada.)
Passo 4
b) Velocidade ao chegar ao solo: usar
com o tempo encontrado.
O sinal negativo indica direção para baixo; a velocidade escalar (módulo) é
.
(Verificação alternativa — fórmula independente do tempo:
. Aqui
, então
logo
, e escolhendo o sinal consistente com o movimento para baixo obtemos
.)
Passo 5
c) Velocidade após
: usar
com
:
Novamente o sinal negativo indica que a velocidade está para baixo; a magnitude é
.
Resposta
a)
b) (para baixo;
)
c) (para baixo)
b)
c)