Questão 2 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula é lançada do alto de um penhasco em t=0 \mathrm{~s} com velocidade inicial horizontal \vec{v}_{0}=20,0 \hat{\imath} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere \vec{g}=-10,0 \hat{\jmath} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a resistência do ar. Quando t=1,50 \mathrm{~s}, o vetor velocidade da partícula é, em m/s:
(a) \vec{v}=20,0 \hat{\imath}
(b) \vec{v}=-5,00 \hat{\imath}-15,0 \hat{\jmath}
(c) \vec{v}=5,00 \hat{\imath}-15,0 \hat{\jmath}
(d) \vec{v}=20,0 \hat{\imath}-15,0 \hat{\jmath}
(e) \vec{v}=-15,0 \hat{\imath}-15,0 \hat{\jmath}
(f) \vec{v}=-5,00 \hat{\imath}+15,0 \hat{\jmath}
(g) \vec{v}=20,0 \hat{\imath}+15,0 \hat{\jmath}
(h) \vec{v}=5,00 \hat{\imath}+15,0 \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá uma partícula lançada do alto de um penhasco em t=0 com velocidade inicial horizontal \vec{v}_{0}=20,0\hat{\imath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. A aceleração devido à gravidade é \vec{g}=-10,0\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Despreza-se resistência do ar. A pergunta é: qual é o vetor velocidade da partícula em t=1,50\\ \mathrm{s}? O enunciado ainda apresenta alternativas (a) a (h) para comparar.
Informações relevantes listadas:
  • \vec{v}_{0}=20,0\hat{\imath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • \vec{g}=-10,0\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • t=1,50\\ \mathrm{s}.
  • Desprezar resistência do ar.
  • Precisamos retornar o vetor velocidade \vec{v}(t) em \mathrm{m}/\mathrm{s} e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): em movimento sob aceleração constante, o vetor velocidade no instante t é dado pela soma da velocidade inicial com a aceleração vezes o tempo. A fórmula vetorial é
\vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t
onde:
  • \vec{v}(t) é o vetor velocidade em (\mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • \vec{v}_{0} é o vetor velocidade inicial em (\mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • \vec{a} é a aceleração (aqui \vec{g}) em (\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}),
  • t é o tempo em (\mathrm{s}).
Essa fórmula vem da integração da aceleração constante: a aceleração é a derivada da velocidade; integrando \vec{a}=\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t \vec{v}(t)=\vec{v}_{0}+\vec{a}t. No nosso problema \vec{a}=\vec{g}.

Passo 3

Independência das componentes (explicação didática): movimentos nas direções x (horizontal) e y (vertical) são tratados separadamente quando a aceleração é constante e tem componentes conhecidas. Escrevemos componente a componente:
v_{x}(t)=v_{0x}+a_{x}\,t
v_{y}(t)=v_{0y}+a_{y}\,t
Aqui v_{0x} e v_{0y} são as componentes da velocidade inicial; a_{x} e a_{y} são as componentes da aceleração. No lançamento horizontal, a velocidade inicial tem só componente horizontal, então v_{0x}=20,0 e v_{0y}=0. A gravidade fornecida é \vec{g}=-10,0\hat{\jmath}, isto é, a_{x}=0,0 e a_{y}=-10,0.

Passo 4

Calcular a componente horizontal v_{x}(t). Substituindo na fórmula:
v_{x}(t)=v_{0x}+a_{x}t
v_{x}(1,50)=20,0 + 0,0\times 1,50
Como 0,0\times 1,50=0,0, temos
v_{x}(1,50)=20,0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Explicação curta: sem aceleração horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante igual à inicial.

Passo 5

Calcular a componente vertical v_{y}(t). Usamos
v_{y}(t)=v_{0y}+a_{y}t.
Sabemos v_{0y}=0,0 (lançamento horizontal) e a_{y}=-10,0. Então
v_{y}(1,50)=0,0 + (-10,0)\times 1,50.
Fazendo a multiplicação:
(-10,0)\times 1,50 = -15,0,
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v_{y}(1,50)=-15,0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade vertical aponta para baixo (sentido negativo de \hat{\jmath}).

Passo 6

Montar o vetor velocidade juntando as componentes x e y:
\vec{v}(1,50)=v_{x}(1,50)\,\hat{\imath}+v_{y}(1,50)\,\hat{\jmath}
\vec{v}(1,50)=20,0\hat{\imath}-15,0\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Agora comparando com as alternativas do enunciado, essa expressão corresponde à alternativa (d).
Dica rápida para a prova: lembre-se sempre de separar em componentes; verifique sinais (positivo para cima/direita, negativo para baixo/esquerda) e mantenha as unidades. Aqui a componente horizontal não muda e a vertical cresce (em módulo) linearmente com o tempo por causa da gravidade.

Resposta

(d) \vec{v}=20,0\hat{\imath}-15,0\hat{\jmath}

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