Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-q}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-q},
onde p, q e g são constantes (números reais). A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a +\infty? É necessário justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da raiz quadrada quando x\to\infty. Note que, para x\ge 0,
\sqrt{x^{2}+g^{2}}\ge \sqrt{x^{2}}=|x|=x,
portanto \sqrt{x^{2}+g^{2}}\to\infty quando x\to\infty. Isso significa que a quantidade \sqrt{x^{2}+g^{2}} fica arbitrariamente grande para x grande.

Passo 3

Uma técnica simples para lidar com esse tipo de expressão é dividir numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+g^{2}}. Fazendo isso obtemos, para todo x tal que \sqrt{x^{2}+g^{2}}\neq 0,
\frac{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}-q} = \frac{1-\dfrac{p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}}{1-\dfrac{q}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}}.

Passo 4

Agora analisamos os termos \dfrac{p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}} e \dfrac{q}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}. Como \sqrt{x^{2}+g^{2}}\to\infty, para constantes p e q vale
\frac{p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{q}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}\to 0 \quad\text{quando }x\to\infty.
Logo os numerador e denominador da fração do Passo 3 tendem a
1-\frac{p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}\to 1 \qquad\text{e}\qquad 1-\frac{q}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}\to 1.

Passo 5

Aplicando as regras de limites (produto/quociente de limites quando o denominador não tende a zero), concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\dfrac{p}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}}{1-\dfrac{q}{\sqrt{x^{2}+g^{2}}}} =\frac{1-0}{1-0}=1.
Como a transformação realizada foi algebraicamente equivalente à expressão original, o limite pedido existe e vale 1.

Resposta

1

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