Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
onde
,
e
são constantes (números reais). A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende a
? É necessário justificar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da raiz quadrada quando
. Note que, para
,
portanto
quando
. Isso significa que a quantidade
fica arbitrariamente grande para
grande.
Passo 3
Uma técnica simples para lidar com esse tipo de expressão é dividir numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos, para todo
tal que
,
Passo 4
Agora analisamos os termos
e
. Como
, para constantes
e
vale
Logo os numerador e denominador da fração do Passo 3 tendem a
Passo 5
Aplicando as regras de limites (produto/quociente de limites quando o denominador não tende a zero), concluímos que
Como a transformação realizada foi algebraicamente equivalente à expressão original, o limite pedido existe e vale
.