Questão 2: ( \mathbf{4 , 0} pontos). Calcule os seguintes limites, tal que a e m pertencem ao conjunto dos números reais ( R ), com a>0 e m \neq 0.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de aproximação é x e o ponto de interesse é x\to0.
  • Avaliando diretamente em x=0 obtemos numerador \sqrt{1+0+0}-1=0 e denominador 0, ou seja a forma é indeterminada \dfrac{0}{0}.
  • Portanto é necessário manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de tomar o limite.

Passo 2

Vou usar uma técnica algébrica simples e muito útil: multiplicar por a conjugada do numerador para eliminar a raiz. Lembrete rápido dessa técnica: para dois termos A e B,
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2},
então multiplicando e dividindo por \sqrt{1+x+x^{2}}+1 conseguimos remover a raiz no numerador.
Aplicando isso à nossa expressão, multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{1+x+x^{2}}+1:
\frac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x+x^{2}}+1}.

Passo 3

Agora faço a multiplicação no numerador usando (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2} com A=\sqrt{1+x+x^{2}} e B=1:
\frac{(\sqrt{1+x+x^{2}})^{2}-1^{2}}{x\bigl(\sqrt{1+x+x^{2}}+1\bigr)} = \frac{(1+x+x^{2})-1}{x\bigl(\sqrt{1+x+x^{2}}+1\bigr)}.
Simplificando o numerador:
\frac{x+x^{2}}{x\bigl(\sqrt{1+x+x^{2}}+1\bigr)}.

Passo 4

Fatoro x no numerador e cancelo com o x do denominador (isso é válido para x\neq0; lembrando que estamos calculando um limite para x\to0 com x diferente de zero):
\frac{x(1+x)}{x\bigl(\sqrt{1+x+x^{2}}+1\bigr)} = \frac{1+x}{\sqrt{1+x+x^{2}}+1}.

Passo 5

Agora a expressão está livre da indeterminação e podemos tomar o limite por substituição, porque as funções envolvidas ( x\mapsto 1+x e x\mapsto\sqrt{1+x+x^{2}}+1) são contínuas em x=0. Então:
\lim_{x\to0}\frac{1+x}{\sqrt{1+x+x^{2}}+1} = \frac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados