Questão 2: (
pontos). Calcule os seguintes limites, tal que
e
pertencem ao conjunto dos números reais (
), com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que temos:
- A variável de aproximação é
e o ponto de interesse é . - Avaliando diretamente em
obtemos numerador e denominador , ou seja a forma é indeterminada . - Portanto é necessário manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de tomar o limite.
Passo 2
Vou usar uma técnica algébrica simples e muito útil: multiplicar por a conjugada do numerador para eliminar a raiz. Lembrete rápido dessa técnica: para dois termos
e
,
então multiplicando e dividindo por
conseguimos remover a raiz no numerador.
Aplicando isso à nossa expressão, multiplica-se numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora faço a multiplicação no numerador usando
com
e
:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Fatoro
no numerador e cancelo com o
do denominador (isso é válido para
; lembrando que estamos calculando um limite para
com
diferente de zero):
Passo 5
Agora a expressão está livre da indeterminação e podemos tomar o limite por substituição, porque as funções envolvidas (
e
) são contínuas em
. Então: