Questão 3: (3,0 pontos). Resolva as alternativas abaixo justificando sua resposta.
Calcule o domínio \mathcal{D}(f) da função f(x) :
f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+4}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+4}}
e pede para calcular o domínio \mathcal{D}(f), ou seja, o conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida (é um número real).
Informações relevantes fornecidas:
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{x+4} no denominador.
  • Isso gera duas restrições que precisamos considerar simultaneamente:
    1. O radicando deve permitir a raiz real: x+4 deve ser maior ou igual a zero.
    2. O denominador não pode ser zero: \sqrt{x+4}\neq 0.

Passo 2

Explicação didática das restrições (por que cada uma existe).
  1. Quando temos uma raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} numa função real, a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real. Aqui o radicando é x+4. Logo devemos ter
x+4\ge 0.
  1. Além disso, como \sqrt{x+4} está no denominador, não podemos ter denominador igual a zero, porque divisão por zero não é definida. Assim devemos exigir
\sqrt{x+4}\neq 0.

Passo 3

Resolver as desigualdades simultâneas.
Da primeira condição \,x+4\ge 0, obtemos
x\ge -4.
Da segunda condição \,\sqrt{x+4}\neq 0, como \sqrt{y}=0 ocorre exatamente quando y=0, isso equivale a
x+4\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -4.
Juntando as duas: x\ge -4 e x\neq -4. A interseção dessas condições é
x>-4.
Portanto qualquer x maior que -4 satisfaz ambas as restrições.

Passo 4

Verificação com exemplos (para fixar a ideia e ganhar confiança).
  • Se x=0 (que é maior que -4), então
f(0)=\frac{2}{\sqrt{0+4}}=\frac{2}{2}=1,
que está bem definido.
  • Se x=-4, então \sqrt{-4+4}=\sqrt{0}=0 e o denominador seria zero, então x=-4 não é permitido.
  • Se x=-3 (que é maior que -4), então
f(-3)=\frac{2}{\sqrt{-3+4}}=\frac{2}{\sqrt{1}}=2,
também bem definido.
Esses exemplos confirmam que valores maiores que -4 funcionam e que x=-4 não.

Resposta

\mathcal{D}(f)=(-4,\infty)

Exercícios relacionados