Questão 4: ( 1,0 ponto). Utilize a Definição de Limite de Karl Weierstrass (Definição
) para provar formalmente a seguinte proposição de limite:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição
-
de limite (Definição de Weierstrass), que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
tende é . - O valor candidato do limite é
.
O que precisa ser provado formalmente: para todoexiste tal que, sempre que , então .
Passo 2
Lembrando a definição
-
(explicação didática):
-
(leia “épsilon”) é a tolerância que se exige no valor da função em relação ao limite : queremos . -
(leia “delta”) é a tolerância correspondente na variável em relação ao ponto : garantimos que se então a diferença na imagem fica dentro de .
O objetivo é expressarem termos de de forma que a implicação desejada valha.
Passo 3
Calculemos a diferença entre
e o valor candidato do limite, para ver como
se relaciona com
:
Fatorando um
:
Esta identidade mostra que a distância entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
.
Passo 4
A partir de
, queremos garantir
. Basta garantir que
Isto equivale a exigir
Portanto uma escolha natural e simples é
Observação:
implica
, logo
é válida.
Passo 5
Prova formal da implicação com a escolha
:
Seja arbitrário
. Defina
. Suponha
satisfazendo
Multiplicando por
(número positivo, mantém desigualdade) e usando a identidade do Passo 3:
Logo sempre que
temos
. Como
era arbitrário, isto prova o limite segundo a definição de Weierstrass.
Passo 6
Conclusão e comentário pedagógico: escolhemos
porque a função é linear e a diferença
é exatamente
vezes
. Esse tipo de manipulação (isolar
em função de
) é o procedimento padrão em provas
-
para funções polinomiais/lineares. Um exemplo numérico rápido para fixar: se
então
; assim, qualquer
com
dá
.