Questão 4: ( 1,0 ponto). Utilize a Definição de Limite de Karl Weierstrass (Definição \epsilon-\delta ) para provar formalmente a seguinte proposição de limite:
\lim _{x \rightarrow-1}(5 x+8)=3

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição \epsilon- \delta de limite (Definição de Weierstrass), que
\lim_{x\to-1}(5x+8)=3.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=5x+8.
  • O ponto onde x tende é -1.
  • O valor candidato do limite é 3.
    O que precisa ser provado formalmente: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-1)|<\delta, então |f(x)-3|<\epsilon.

Passo 2

Lembrando a definição \epsilon- \delta (explicação didática):
  • \epsilon (leia “épsilon”) é a tolerância que se exige no valor da função em relação ao limite 3: queremos |f(x)-3|<\epsilon.
  • \delta (leia “delta”) é a tolerância correspondente na variável x em relação ao ponto -1: garantimos que se |x+1|<\delta então a diferença na imagem fica dentro de \epsilon.
    O objetivo é expressar \delta em termos de \epsilon de forma que a implicação desejada valha.

Passo 3

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor candidato do limite, para ver como \epsilon se relaciona com |x+1|:
|f(x)-3| = |5x+8-3| = |5x+5|.
Fatorando um 5:
|5x+5| = 5\,|x+1|.
Esta identidade mostra que a distância entre f(x) e 3 é exatamente 5 vezes a distância entre x e -1.

Passo 4

A partir de |f(x)-3| = 5\,|x+1|, queremos garantir |f(x)-3|<\epsilon. Basta garantir que
5\,|x+1|<\epsilon.
Isto equivale a exigir
|x+1|<\frac{\epsilon}{5}.
Portanto uma escolha natural e simples é
\delta=\frac{\epsilon}{5}.
Observação: \epsilon>0 implica \delta>0, logo \delta é válida.

Passo 5

Prova formal da implicação com a escolha \delta=\dfrac{\epsilon}{5}:
Seja arbitrário \epsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\epsilon}{5}. Suponha x satisfazendo
0<|x-(-1)|=|x+1|<\delta=\frac{\epsilon}{5}.
Multiplicando por 5 (número positivo, mantém desigualdade) e usando a identidade do Passo 3:
|f(x)-3| = 5\,|x+1| < 5\cdot\frac{\epsilon}{5} = \epsilon.
Logo sempre que 0<|x+1|<\delta temos |f(x)-3|<\epsilon. Como \epsilon>0 era arbitrário, isto prova o limite segundo a definição de Weierstrass.

Passo 6

Conclusão e comentário pedagógico: escolhemos \delta=\dfrac{\epsilon}{5} porque a função é linear e a diferença |f(x)-3| é exatamente 5 vezes |x+1|. Esse tipo de manipulação (isolar |x-a| em função de \epsilon) é o procedimento padrão em provas \epsilon- \delta para funções polinomiais/lineares. Um exemplo numérico rápido para fixar: se \epsilon=0,1 então \delta=0,02; assim, qualquer x com |x+1|<0,02 |f(x)-3|<0,1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to-1}(5x+8)=3

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