Calcular o campo elétrico \vec{E} associado a um potencial do tipo do dipolo físico, ou seja V(r, \theta)=C\left[\cos (\theta) / r^{2}\right], no qual C é uma constante. Pergunta: para qual valor de \theta as componentes E_{r} e E_{\theta} do campo \vec{E} irão se igualar? ( 15 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial de um dipolo físico em coordenadas esféricas
V(r,\theta)=C\,\frac{\cos\theta}{r^2}
e pede o campo elétrico \vec E=-\nabla V cujas componentes em coordenadas esféricas são E_r e E_\theta. Além disso, precisamos achar o valor de \theta para o qual E_r=E_\theta. Para isso vamos usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, as componentes do campo são
E_r=-\frac{\partial V}{\partial r},\qquad E_\theta=-\frac{1}{r}\,\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Primeiro calculemos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(C\,\frac{\cos\theta}{r^2}\Bigr) =-2\,C\,\frac{\cos\theta}{r^3}, \qquad \frac{\partial V}{\partial\theta} =\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(C\,\frac{\cos\theta}{r^2}\Bigr) =-C\,\frac{\sin\theta}{r^2}.
Logo as componentes do campo são
E_r=-\Bigl(-2C\,\frac{\cos\theta}{r^3}\Bigr) =\;2C\,\frac{\cos\theta}{r^3}, \qquad E_\theta=-\frac{1}{r}\Bigl(-C\,\frac{\sin\theta}{r^2}\Bigr) =\;C\,\frac{\sin\theta}{r^3}.

Passo 3

Igualando E_r e E_\theta:
2C\,\frac{\cos\theta}{r^3} \;=\; C\,\frac{\sin\theta}{r^3} \;\Longrightarrow\; 2\cos\theta=\sin\theta \;\Longrightarrow\; \tan\theta=2.

Resposta

\theta=\arctan(2)\approx63{,}4^\circ.

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