2^{a} Questão:( \mathbf{2 5} pontos) Considere o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}), das matrizes de ordem 2 .
(a) ( \mathbf{1 0} pontos) Mostre que o conjunto W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; b=0 \mathrm{e} c+d-a=0\right\} é um subespaço vetorial de V, com a soma e multiplicação por escalar usual.
(b) ( \mathbf{8} pontos) Determine uma base e a dimensão do subespaço W.
(c) ( 7 pontos) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) \in W ? Se sim, determine as coordenadas do vetor A em relação a base \beta obtida no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas:
  • (a) Mostrar que o conjunto W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \; ;\; b=0 \text{ e } c+d-a=0\right\} é um subespaço de V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais.
  • (b) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
  • (c) Verificar se A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} pertence a W e, se sim, encontrar as coordenadas de A na base \beta obtida no item (b).
Informações dadas que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
  • Uma matriz genérica em M_2(\mathbb R) tem entradas a,b,c,d.
  • Em W vale a condição b=0 e a condição linear entre entradas c+d-a=0, ou seja, a=c+d.]

Passo 2

Lembrando a definição útil (vou explicar devagar): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. W contém o vetor zero de V;
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb R então \lambda u\in W.
Vou checar cada condição para W.

Passo 3

Verificação da condição 1 (zero em W).
O elemento zero de V é a matriz nula \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Aqui b=0 (ok).
  • E c+d-a=0+0-0=0 (ok).
    Portanto \mathbf{0}\in W. Isso mostra que W não está vazio e contém o zero.]

Passo 4

Verificação da condição 2 (fechamento por soma).
Considere duas matrizes quaisquer de W:
X=\begin{pmatrix}a_1&0\\[4pt] c_1&d_1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2&0\\[4pt] c_2&d_2\end{pmatrix},
onde, por hipótese, vale a_1=c_1+d_1 e a_2=c_2+d_2 (peguei essas igualdades da definição de W).
A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2&0\\[4pt] c_1+c_2&d_1+d_2\end{pmatrix}.
Verificações:
  • A entrada de cima à direita permaneceu 0+0=0, então a condição b=0 é satisfeita.
  • Calcule (c_1+c_2)+(d_1+d_2) - (a_1+a_2). Substituindo a_1=c_1+d_1 e a_2=c_2+d_2 obtemos
(c_1+c_2)+(d_1+d_2)-(a_1+a_2)= (c_1+d_1-a_1) + (c_2+d_2-a_2)=0+0=0.
Logo X+Y satisfaz as duas condições e pertence a W. Assim W é fechado por soma.]

Passo 5

Verificação da condição 3 (fechamento por multiplicação escalar).
Seja \lambda\in\mathbb R e
X=\begin{pmatrix}a&0\\[4pt] c&d\end{pmatrix}\in W,
com a=c+d. Então
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a&0\\[4pt] \lambda c&\lambda d\end{pmatrix}.
Verificações:
  • A entrada (1,2) continua 0 porque \lambda\cdot 0=0.
  • Calcule (\lambda c)+(\lambda d)-(\lambda a)=\lambda(c+d-a)=\lambda\cdot 0=0.
    Portanto \lambda X\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 6

Conclusão do item (a): como W contém o zero, é fechado por soma e por escalares, concluímos que W é um subespaço vetorial de V. Continua firme! \square

Passo 7

Agora (item b) vamos encontrar uma base e a dimensão de W. Vou parametrizar uma matriz genérica de W usando as condições do enunciado.
Em W temos b=0 e a=c+d. Então uma matriz qualquer de W pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a&0\\[4pt] c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c+d&0\\[4pt] c&d\end{pmatrix}.
Separe os termos com c e d:
\begin{pmatrix}c+d&0\\[4pt] c&d\end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Portanto todo elemento de W é combinação linear dos dois vetores (matrizes)
v_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
com coeficientes c e d respectivos. Assim \{v_1,v_2\} gera W.
Agora preciso checar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (para então serem uma base). Considere a combinação linear nula:
\alpha v_1 + \beta v_2 = \mathbf{0},
isto é,
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+\beta & 0\\[4pt] \alpha & \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtemos o sistema
\alpha+\beta=0,\qquad \alpha=0,\qquad \beta=0.
Da segunda equação vem \alpha=0; substituindo na primeira obtemos \beta=0. Assim a única solução é \alpha=\beta=0, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Portanto \{v_1,v_2\} é um conjunto gerador e linearmente independente: é uma base de W. Como tem dois vetores, a dimensão de W é 2.
Comentário prático: foi bem natural parametrizar por c e d porque as duas condições do enunciado deixam c e d livres e determinam a e b.]

Passo 8

Item (c): verificar se A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} pertence a W e, em caso positivo, encontrar coordenadas em relação à base \beta=\{v_1,v_2\} do item (b).
Primeiro verificar as condições de W:
  • A entrada (1,2) de A é 0, então b=0 satisfaz.
  • Calcule c+d-a para A: c+d-a = 1+1-2 = 0. Logo A satisfaz a segunda condição também.
Assim A\in W.
Agora escrever A como combinação A=\alpha v_1 + \beta v_2. Usando a forma das combinações já vista,
\alpha v_1 + \beta v_2 = \begin{pmatrix}\alpha+\beta & 0\\[4pt] \alpha & \beta\end{pmatrix}.
Queremos que isso seja igual a A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}. Igualando entradas obtemos o sistema
\alpha+\beta=2,\qquad \alpha=1,\qquad \beta=1.
Da segunda equação vem diretamente \alpha=1, e então \beta=2-\alpha=1. Verificamos que \beta=1 também satisfaz a terceira entrada. Portanto as coordenadas de A na base \beta são (\alpha,\beta)=(1,1).]

Resposta

(a) W é um subespaço de V.\n
(b) Uma base é \beta=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\} e \dim W=2.\n
(c) Sim, A\in W. As coordenadas de A na base \beta são (1,1).]

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