1^{a} Questão:( \mathbf{3 0} pontos) Considere os subespaços
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y-z=0\right\} \text { e } W=[(1,3,0),(0,0,1)]
(a) ( \mathbf{1 0} pontos) Encontre uma base do subespaço U e determine \operatorname{dim} U.
(b) ( \mathbf{8} pontos) Usando a definição de subespaço gerado, mostre que:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / y-3 x=0\right\} .
(c) ( \mathbf{7} pontos) Determine o subespaço U \cap W e calcule \operatorname{dim}(U \cap W).
(d) ( \mathbf{5} pontos) Calcule \operatorname{dim}(U+W) e encontre uma base para o subespaço U+W. Podemos dizer que U+W=\mathbb{R}^{3} ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\}
e
W=\operatorname{span}\{(1,3,0),(0,0,1)\}.
O que é pedido:
  • (a) Encontrar uma base de U e calcular \dim U.
  • (b) Usando a definição de subespaço gerado (span), mostrar que W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y-3x=0\}.
  • (c) Determinar U\cap W e calcular \dim(U\cap W).
  • (d) Calcular \dim(U+W), encontrar uma base para U+W e dizer se U+W=\mathbb{R}^3.
Informações relevantes dadas:
  • Em U há a equação linear \,x+y-z=0.
  • W é o subespaço gerado (span) pelos vetores (1,3,0) e (0,0,1).

Passo 2

(a) Encontrar uma base de [U) e \dim U.
Explicação da ideia prática: uma equação linear \,x+y-z=0 em \mathbb{R}^3 impõe uma restrição, então esperamos dois graus de liberdade (dimensão 2). Para produzir explicitamente uma base, escrevemos a relação de forma paramétrica.
Da equação \,x+y-z=0 obtemos
z = x+y.
Parametrizando por x e y (escolhendo-os como parâmetros livres), qualquer vetor de U tem a forma
(x,y,z)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Isso mostra que U\subseteq\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\} e também que todo vetor dos spans apresentados satisfaz a equação, logo
U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
Verificação de independência linear (para garantir que são base): suponha que existam escalares a,b tais que
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0).
Comparando coordenadas:
\begin{cases} a=0,\\[4pt] b=0,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Das duas primeiras linhas vem a=0\] e \(b=0, que satisfazem a terceira; portanto os vetores são linearmente independentes.
Conclusão do passo: uma base de U é \{(1,0,1),(0,1,1)\} e, como há duas vetores independentes, \dim U=2.]

Passo 3

(b) Mostrar que
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y-3x=0\}
usando a definição de subespaço gerado.
Lado \subseteq: por definição, qualquer vetor v\in W é combinação linear de (1,3,0) e (0,0,1). Escreva
v = a(1,3,0)+b(0,0,1)=(a,3a,b).
Para esse v temos y=3a e x=a, então
y-3x=3a-3a=0.
Logo todo v\in W satisfaz y-3x=0, ou seja W\subseteq\{(x,y,z)\mid y-3x=0\}.
Lado \supseteq: tome um vetor genérico (x,y,z) que satisfaça y-3x=0. Então y=3x, e podemos escrever
(x,y,z) = x(1,3,0) + z(0,0,1).
Isto é uma combinação linear dos geradores de W, então (x,y,z)\in W. Assim \{(x,y,z)\mid y-3x=0\}\subseteq W.
Unindo as duas inclusões obtemos a igualdade procurada:
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y-3x=0\}.

Passo 4

(c) Determinar [U\cap W) e \dim(U\cap W).
Método: um vetor em U\cap W deve satisfazer simultaneamente as equações de U e de W:
\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] y-3x=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=3x\]. Substituindo na primeira: \[x+(3x)-z=0 \quad\Rightarrow\quad 4x - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 4x.\] Assim todo vetor em \(U\cap W tem forma
(x,y,z)=(x,3x,4x)=x(1,3,4).
Portanto
U\cap W=\operatorname{span}\{(1,3,4)\}.
Esse gerador é não nulo, logo U\cap W é uma reta passando pela origem e \dim(U\cap W)=1.]

Passo 5

(d) Calcular [\dim(U+W)), encontrar uma base de U+W e dizer se U+W=\mathbb{R}^3.
Primeiro, \dim U=2 (Passo 2). Para \dim W: os geradores dados (1,3,0) e (0,0,1) são linearmente independentes porque, se c_1(1,3,0)+c_2(0,0,1)=(0,0,0), comparando coordenadas obtemos c_1=0, 3c_1=0 (mesma condição) e c_2=0. Logo c_1=c_2=0. Portanto \dim W=2.
Usamos a fórmula de dimensões para soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W).
Substituindo os valores obtidos:
\dim(U+W)=2+2-1=3.
Como \dim(U+W)=3 e estamos em \mathbb{R}^3, segue que U+W=\mathbb{R}^3.
Agora uma base explícita para U+W. Uma maneira prática é pegar a união das bases de U e W e extrair um subconjunto independente de tamanho igual à dimensão 3. Por exemplo, dos vetores
(1,0,1)\in U,\quad (0,1,1)\in U,\quad (0,0,1)\in W,
mostra-se que são linearmente independentes: suponha
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(0,0,1)=(0,0,0).
Comparando coordenadas:
\begin{cases} \alpha=0,\\[4pt] \beta=0,\\[4pt] \alpha+\beta+\gamma=0. \end{cases}
Das duas primeiras vem \alpha=\beta=0\], então \(\gamma=0. Logo são independentes e, por serem três vetores independentes em um espaço de dimensão 3, formam uma base de U+W.
Portanto uma base de U+W é, por exemplo, \{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\}. Como já concluído, U+W=\mathbb{R}^3.]

Resposta

(a) Base de U: \{(1,0,1),(0,1,1)\}. \dim U=2.
(b) W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y-3x=0\}.
(c) U\cap W=\operatorname{span}\{(1,3,4)\}. \dim(U\cap W)=1.
(d) \dim(U+W)=3. Uma base para U+W é \{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\}. Sim, U+W=\mathbb{R}^3.

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