Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja f(x)=5 x^{7} e g(x)=2 x, então \frac{d}{d x}\left(5 x^{7}-2 x\right)=35 x^{6}-2.

Passo 1

O enunciado dá as funções e afirma uma igualdade envolvendo derivada. Informações fornecidas:
  • f(x)=5x^{7}.
  • g(x)=2x.
  • A afirmação a verificar é: \dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{7}-2x\bigr)=35x^{6}-2.
O que se pede: decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.

Passo 2

Relembrando regras básicas (sem pular passos):
  • Linearidade da derivada: para quaisquer funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\pm v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)\pm\frac{d}{dx}v(x).
Isto significa que podemos derivar termo a termo quando somamos ou subtraímos funções.
  • Regra do fator constante e regra do potência: se a é constante e n é inteiro positivo, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\,x^{n}\bigr)=a\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa: a é um número que multiplica a potência, x é a variável, n é o expoente, e a derivada de x^{n} é n x^{n-1} (isso vem da definição limite da derivada ou pode ser aceito como regra conhecida para polinômios).
  • Derivada de x é 1:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
Vou usar essas regras passo a passo para derivar \,5x^{7}-2x\,.

Passo 3

Aplicando a linearidade, derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{7}-2x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{7}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr).
Agora calculo cada derivada separadamente.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \,5x^{7}:
  • Aqui a=5 e n=7. Pela regra do fator constante e da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{7}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{7}\bigr)=5\cdot 7 x^{6}=35x^{6}.
Explicando bem: multiplica-se o expoente 7 pela constante 5 para obter o coeficiente 35, e o novo expoente passa a ser 7-1=6.

Passo 5

Derivada do segundo termo \,2x:
  • Aqui é um termo linear a x com a=2. Sabendo que \dfrac{d}{dx}(x)=1, pela regra do fator constante,
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1=2.
Como o termo no original é -2x, sua derivada entra com sinal negativo: -\frac{d}{dx}(2x)=-2.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{7}-2x\bigr)=35x^{6}-2.
Portanto a expressão obtida pela diferenciação coincide exatamente com a expressão dada na afirmação.

Resposta

Verdadeira

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