Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja
e
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as funções e afirma uma igualdade envolvendo derivada. Informações fornecidas:
-
. -
. - A afirmação a verificar é:
.
O que se pede: decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta.
Passo 2
Relembrando regras básicas (sem pular passos):
- Linearidade da derivada: para quaisquer funções
e ,
Isto significa que podemos derivar termo a termo quando somamos ou subtraímos funções.
- Regra do fator constante e regra do potência: se
é constante e é inteiro positivo, então
Aqui cada símbolo significa:
é um número que multiplica a potência,
é a variável,
é o expoente, e a derivada de
é
(isso vem da definição limite da derivada ou pode ser aceito como regra conhecida para polinômios).
- Derivada de
é :
Vou usar essas regras passo a passo para derivar
.
Passo 3
Aplicando a linearidade, derivamos termo a termo:
Agora calculo cada derivada separadamente.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
:
- Aqui
e . Pela regra do fator constante e da potência,
Explicando bem: multiplica-se o expoente
pela constante
para obter o coeficiente
, e o novo expoente passa a ser
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
- Aqui é um termo linear
com . Sabendo que , pela regra do fator constante,
Como o termo no original é
, sua derivada entra com sinal negativo:
.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Portanto a expressão obtida pela diferenciação coincide exatamente com a expressão dada na afirmação.
Resposta
Verdadeira