QUESTÃO 2 (2,0 Pontos) A densidade de carga de um átomo (geometria esférica) em seu estado de energia fundamental é determinada por meio da expressão:
em que
é a distância do núcleo do átomo à sua superfície. Sendo assim, determine a carga total do referido átomo e o campo elétrico para
e
, onde
é o raio do átomo.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade de carga (com geometria esférica) do átomo:
onde
é a distância radial medida a partir do núcleo e
é o raio do átomo (isto é, a densidade existe para
). O que se pede:
- Determinar a carga total do átomo (ou seja, a carga contida no volume esférico de raio
). - Determinar o campo elétrico para
(dentro do átomo) e para (fora do átomo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A densidade de carga depende somente de
(simetria esférica). - A superfície do átomo corresponde a
. - Não há outras cargas externas mencionadas; presumimos vácuo com permissividade elétrica
.
Passo 2
Como a densidade depende só de
e o problema é esfericamente simétrico, a carga total é dada pela integral da densidade sobre o volume da esfera de raio
:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume depende de
como
quando a densidade é radial (a integração sobre ângulos dá o fator
). Assim:
Substituindo a expressão de
:
Simplificando os fatores numéricos e de
:
Agora resolvemos essa integral por substituição. Seja
. Então
, ou seja
. Aplicando isso:
Integrando:
Podemos também escrever fatorando
:
Passo 3
Agora vamos obter o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Lembrete (aula rápida): a Lei de Gauss em forma integral diz que a integral de fluxo elétrico sobre uma superfície fechada vale a carga envolvida dividida por
:
Para uma distribuição esfericamente simétrica a campo também é radial e constante sobre uma superfície esférica centrada no núcleo. Assim, escolhendo uma esfera de raio
como superfície de Gauss:
Logo
onde
é a carga contida na esfera de raio
(integração da densidade de
até
).
Passo 4
Calculemos
para
. Pelo mesmo procedimento do Passo 2, mas integrando até
em vez de
:
Fazendo a substituição
(como antes) obtemos
Portanto, para
o campo elétrico radial (apontando para fora se a carga total for positiva) é
Observação didática curta: apesar de
parecer singular em
por causa do fator
, a multiplicação por
no elemento de volume garante que a integral seja finita; de fato
tende a
quando
e o campo tem comportamento finito no centro (pode-se verificar a expansão em série que dá
no limite, mas isto é um detalhe adicional).
Passo 5
Para
toda a carga do átomo está contida na esfera de raio
. Assim
. Aplicando a fórmula de Gauss para
:
Isso mostra que fora do átomo o campo se comporta como o de uma carga pontual igual à carga total localizada no centro, decaindo como
.