QUESTÃO 2 (2,0 Pontos) A densidade de carga de um átomo (geometria esférica) em seu estado de energia fundamental é determinada por meio da expressão:
\eta=\frac{e^{\left(r^{2}+1\right)}}{2 \pi r}
em que r é a distância do núcleo do átomo à sua superfície. Sendo assim, determine a carga total do referido átomo e o campo elétrico para \boldsymbol{r}<\boldsymbol{\delta} e \boldsymbol{r}>\boldsymbol{\delta}, onde \boldsymbol{\delta} é o raio do átomo.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de carga (com geometria esférica) do átomo:
\eta(r)=\frac{e^{\left(r^{2}+1\right)}}{2\pi r},
onde \,r\, é a distância radial medida a partir do núcleo e \,\delta\, é o raio do átomo (isto é, a densidade existe para 0\le r\le\delta). O que se pede:
  • Determinar a carga total do átomo (ou seja, a carga contida no volume esférico de raio \delta).
  • Determinar o campo elétrico para \,r<\delta\, (dentro do átomo) e para \,r>\delta\, (fora do átomo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade de carga depende somente de r (simetria esférica).
  • A superfície do átomo corresponde a r=\delta.
  • Não há outras cargas externas mencionadas; presumimos vácuo com permissividade elétrica \varepsilon_0.

Passo 2

Como a densidade depende só de r e o problema é esfericamente simétrico, a carga total é dada pela integral da densidade sobre o volume da esfera de raio \delta:
Q_{\text{total}}=\int_{V} \eta(r)\,dV.
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume depende de r como \,dV=4\pi r^{2}\,dr\, quando a densidade é radial (a integração sobre ângulos dá o fator 4\pi). Assim:
Q_{\text{total}}=\int_{0}^{\delta} \eta(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Substituindo a expressão de \eta(r):
Q_{\text{total}}=\int_{0}^{\delta} \frac{e^{(r^{2}+1)}}{2\pi r}\;4\pi r^{2}\,dr.
Simplificando os fatores numéricos e de r:
Q_{\text{total}}=2\int_{0}^{\delta} r\,e^{(r^{2}+1)}\,dr.
Agora resolvemos essa integral por substituição. Seja \,u=r^{2}+1\,. Então \,du=2r\,dr, ou seja \,r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Aplicando isso:
Q_{\text{total}}=2\int_{u(0)}^{u(\delta)} e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du=\int_{1}^{\delta^{2}+1} e^{u}\,du.
Integrando:
Q_{\text{total}}=\left[e^{u}\right]_{1}^{\delta^{2}+1}=e^{\delta^{2}+1}-e^{1}.
Podemos também escrever fatorando e^{1}:
Q_{\text{total}}=e^{1}\bigl(e^{\delta^{2}}-1\bigr).

Passo 3

Agora vamos obter o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Lembrete (aula rápida): a Lei de Gauss em forma integral diz que a integral de fluxo elétrico sobre uma superfície fechada vale a carga envolvida dividida por \varepsilon_0:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Para uma distribuição esfericamente simétrica a campo também é radial e constante sobre uma superfície esférica centrada no núcleo. Assim, escolhendo uma esfera de raio r como superfície de Gauss:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}.
Logo
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}},
onde \,Q_{\text{enc}}(r)\, é a carga contida na esfera de raio r (integração da densidade de 0 até r).

Passo 4

Calculemos Q_{\text{enc}}(r) para r<\delta. Pelo mesmo procedimento do Passo 2, mas integrando até r em vez de \delta:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} \eta(s)\,4\pi s^{2}\,ds =2\int_{0}^{r} s\,e^{(s^{2}+1)}\,ds.
Fazendo a substituição u=s^{2}+1 (como antes) obtemos
Q_{\text{enc}}(r)=\left[e^{u}\right]_{1}^{r^{2}+1}=e^{r^{2}+1}-e^{1}.
Portanto, para r<\delta o campo elétrico radial (apontando para fora se a carga total for positiva) é
\mathbf{E}(r)=\frac{e^{r^{2}+1}-e^{1}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r<\delta).
Observação didática curta: apesar de \eta(r) parecer singular em r=0 por causa do fator 1/r, a multiplicação por r^{2} no elemento de volume garante que a integral seja finita; de fato Q_{\text{enc}}(r) tende a 0 quando r\to 0 e o campo tem comportamento finito no centro (pode-se verificar a expansão em série que dá E(0)=\dfrac{e^{1}}{4\pi\varepsilon_0} no limite, mas isto é um detalhe adicional).

Passo 5

Para r>\delta toda a carga do átomo está contida na esfera de raio \delta. Assim Q_{\text{enc}}(r)=Q_{\text{total}}=e^{\delta^{2}+1}-e^{1}. Aplicando a fórmula de Gauss para r>\delta:
\mathbf{E}(r)=\frac{e^{\delta^{2}+1}-e^{1}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r>\delta).
Isso mostra que fora do átomo o campo se comporta como o de uma carga pontual igual à carga total localizada no centro, decaindo como 1/r^{2}.

Resposta

Q_{\text{total}}=e^{\delta^{2}+1}-e^{1}
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{e^{r^{2}+1}-e^{1}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad (r<\delta)
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{e^{\delta^{2}+1}-e^{1}}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad (r>\delta)

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