QUESTÃO 2 ( \mathbf{3 , 5} pontos): Uma mistura de partículas aproximadamente esféricas ( \rho=2,65 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ) apresenta a seguinte granulometria:
X_{i}=\left(\frac{D_{i}}{3,3626}\right)^{1,3699} ; \quad Di em mm
A mistura foi inicialmente peneirada em uma peneira de mesh 8 e as análises de peneira cumulativa das correntes de grossos e de finos estão na tabela seguinte.
Mesh Dp (mm) X
Grossos Finos
4 4,699 0 -
6 3,327 0,071 -
8 2,362 0,43 -
10 1,651 0,85 0,195
14 1,168 0,97 0,58
20 0,833 0,99 0,83
28 0,589 1,00 0,91
35 0,417 - 0,94
65 0,208 - 0,975
100 0,147 - 1,00
Fundo - - -
O objetivo é separar completamente as partículas em duas frações, uma com tamanhos abaixo do mesh 8 e outra com tamanhos acima desse mesh. Para tanto, a corrente de grossos proveniente da peneiração é alimentada em um elutriador. Para uma alimentação de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} na peneiração, determine:
a) (1,0) As vazões de finos e grossos obtidas na peneira:
b) (1,0) A eficiência global da peneira.
c) (1,0) A velocidade do ar a 20^{\circ} \mathrm{C} no elutriador ( \rho=1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mu=0,018 \mathrm{cp} ).
d) (0,5) As quantidades de partículas no topo e no fundo do elutriador.

Passo 1

Vou organizar certinho o que o enunciado dá e o que ele pede (sem começar a resolver ainda).\n
  • Dados fornecidos importantes:
    • Densidade das partículas: \rho_p = 2{,}65\\ \mathrm{g/cm^3} = 2650\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Granulometria escrita como \,X_i=\left(\dfrac{D_i}{3{,}3626}\right)^{1{,}3699} com D_i em mm. Esse formato é típico do ajuste de Rosin–Rammler, onde o argumento X_i aparece no expoente da forma cumulativa P(D)=1-\exp(-X_i). Vou usar essa interpretação (explico a teoria no passo seguinte).
    • Tabela com diâmetros equivalentes das malhas D_p (em mm) e análises cumulativas das correntes “Grossos” e “Finos” (valores entre 0 e 1 nas colunas da tabela).
    • Alimentação na peneira: 100\\ \mathrm{kg/s}.
    • Elutriador: dados do ar a 20^\circ\mathrm{C}: \rho_{ar}=1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{g/cm^3}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu=0{,}018\\ \mathrm{cp}=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • O que o enunciado pede:
    a) As vazões (kg/s) de finos e grossos obtidas na peneira para alimentação de 100\\ \mathrm{kg/s}.
    b) A eficiência global da peneira (ou seja, fração da massa corretamente classificada).
    c) A velocidade do ar no elutriador (em m/s) para completar a separação entre partículas abaixo e acima do mesh 8.
    d) As quantidades (kg/s) de partículas no topo e no fundo do elutriador (isto é, quanto do fluxo de grossos entra e sai para cima/baixo).
  • Observação sobre a tabela: usei os números das colunas “Grossos” e “Finos” como curvas cumulativas de passagem (fração menor que D_p) das respectivas correntes — é o uso mais natural numa análise de peneira e elutriação.

Passo 2

Entendendo a granulometria e como obter a fração de alimentação que passa cada malha (a base matemática que vamos usar).\n
  • Modelo de Rosin–Rammler (comum para granulometrias): a fração acumulada mais fina que um diâmetro D é dada por
P(D)=1-\exp\!\big(-X(D)\big),
onde
X(D)=\left(\dfrac{D}{D_0}\right)^n.
Aqui o enunciado fornece exatamente X_i=\left(\dfrac{D_i}{3{,}3626}\right)^{1{,}3699}. Logo identificamos D_0=3{,}3626\\ \mathrm{mm} e n=1{,}3699.
  • Interpretação prática: para qualquer malha com abertura D (em mm) a fração do material da mistura inicial que é menor que D (i.e., passa por essa malha) é
P_{\text{feed}}(D)=1-\exp\!\Big(-\big(\tfrac{D}{3{,}3626}\big)^{1{,}3699}\Big).
  • Exemplo numérico rápido para memorizar o processo: para D=2{,}362\\ \mathrm{mm} (mesh 8), calculamos primeiro X=(2{,}362/3{,}3626)^{1{,}3699} e depois P_{\text{feed}}=1-e^{-X}. Vou usar esse procedimento para achar a fração da alimentação que passa a malha 8 (isto é, os “finos” que saem diretamente da peneira).

Passo 3

Calcular a fração da alimentação que passa a malha 8 (isto é, a fração de finos do feed) e, assim, as vazões de finos e grossos da peneira (item a).\n
  • Calcular X para D=2{,}362\\ \mathrm{mm}:
X = \left(\dfrac{2{,}362}{3{,}3626}\right)^{1{,}3699}.
Faço passo a passo (mantendo números com 4 dígitos relevantes):
\frac{2{,}362}{3{,}3626}=0{,}7029\quad\Rightarrow\quad X=0{,}7029^{1{,}3699}\approx 0{,}6176.
  • Agora a fração mais fina que 2{,}362\\ \mathrm{mm} na alimentação é
P_{\text{feed}}(2{,}362)=1-e^{-0{,}6176}\approx 1-0{,}5393=0{,}4607.
  • Portanto, para alimentação de 100\\ \mathrm{kg/s}:
    • Vazão de finos (passaram pela malha 8): \;100\times 0{,}4607\approx 46{,}07\\ \mathrm{kg/s}.
    • Vazão de grossos (retenção na malha 8): \;100-46{,}07=53{,}93\\ \mathrm{kg/s}.
  • Interpretação: cerca de 46{,}1\\ \mathrm{kg/s} passam a malha 8 (saem como finos), e 53{,}9\\ \mathrm{kg/s} ficam como grossos após a peneira.

Passo 4

Como avaliar a eficiência global da peneira (item b): definição e cálculo usando os dados de distribuição das correntes.\n
  • Definição prática usada aqui (muito usada em problemas de classificação): eficiência global = fração da massa corretamente classificada pela peneira, i.e., massa de partículas corretamente encaminhadas (partículas menores que a malha que foram para “finos” + partículas maiores que a malha que ficaram em “grossos”) dividido pela massa total de alimentação.
  • Para calcular isso preciso da massa mal colocada:
    • Partículas finas (menores que D=2{,}362) que ficaram na corrente de grossos = massa dos grossos \times fração deles que é menor que 2{,}362. A tabela dá exatamente essa fração para a coluna “Grossos” no D_p=2{,}362: X_{\text{grossos at 8}}=0{,}43 (interpretei isso como fração cumulativa que é menor que D dentro do material “Grossos”).
    • Partículas grossas (maiores que 2{,}362) que passaram para a corrente de finos: em princípio, a corrente de finos foi o produto da passagem pela malha 8, logo não contém partículas maiores que 8 (assumimos essa idealização nos dados fornecidos). Assim, mensuramos apenas o primeiro tipo de erro (finos retidos em grossos) usando a tabela.
  • Cálculo explícito:
    • Massa de grossos: R=53{,}93\\ \mathrm{kg/s}.
    • Fração de grossos que é, na realidade, fina (passa a 8): f_{g\to fine}=0{,}43.
    • Massa de finos na corrente de grossos (mal classificada): m_{\text{err}}=R\times 0{,}43=53{,}93\times 0{,}43\approx 23{,}18\\ \mathrm{kg/s}.
    • Massa corretamente classificada = massa total - massa mal classificada = 100 - 23{,}18 = 76{,}82\\ \mathrm{kg/s}.
    • Eficiência global:
    \eta = \frac{\text{massa corretamente classificada}}{\text{massa total}} = \frac{76{,}82}{100}=0{,}7682 \approx 76{,}8\%.
  • Interpretação: cerca de 76{,}8\% da massa foi classificada corretamente pela peneira; o erro principal está nas finas que ficaram retidas na corrente de grossos (segundo a análise dada).

Passo 5

Preparação para o elutriador (entendimento físico e escolha do critério de separação): como determinamos a velocidade do ar (item c).\n
  • Objetivo do elutriador: com um fluxo de ar ascendente, arrastar as partículas mais leves/menores (fino) para o topo e permitir que as partículas maiores/mais pesadas caiam para o fundo. A velocidade de ar a ser escolhida tipicamente coincide com a velocidade terminal (settling velocity) das partículas-limite que queremos separar. Aqui queremos separar completamente partículas abaixo e acima do mesh 8 ( D=2{,}362\\ \mathrm{mm}), então tomamos a velocidade do ar igual à velocidade terminal da partícula de diâmetro D=2{,}362\\ \mathrm{mm}: partículas menores terão velocidade terminal menor e serão arrastadas; partículas maiores terão velocidade terminal maior e cairão.
  • Balanço de forças para velocidade terminal V_t (sólido esférico em fluido): peso aparente = resistência aerodinâmica (arraste). Para esferas
(\rho_p-\rho_f)\,\frac{\pi d^3}{6}\,g \;=\; \tfrac12 C_D\,\rho_f\,\frac{\pi d^2}{4}\,V_t^2.
Simplificando:
V_t = \sqrt{\dfrac{4(\rho_p-\rho_f)g\,d}{3\,C_D\,\rho_f}}.
  • Observação: C_D (coeficiente de arraste) depende do número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho_f V_t d}{\mu}. Para partículas com diâmetros na faixa de mm e velocidades de \sim 10\\ \mathrm{m/s}, estamos em \mathrm{Re} da ordem de 10^3 — regime em que C_D é aproximadamente constante, em torno de 0{,}4 0{,}5. A aproximação comum é usar C_D\approx 0{,}44 (valor típico para esferas em regime “Newtoniano” do arrasto). Vou usar C_D=0{,}44 e depois verificar coerência com o Re obtido (iterativo se fosse necessário).

Passo 6

Cálculo numérico da velocidade terminal (e, portanto, da velocidade do ar no elutriador) para D=2{,}362\\ \mathrm{mm} (item c), com detalhamento das unidades.\n
  • Converter diâmetro para SI: d=2{,}362\\ \mathrm{mm}=0{,}002362\\ \mathrm{m}.
  • Dados numéricos:
    • \rho_p=2650\\ \mathrm{kg/m^3},
    • \rho_f=\rho_{ar}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3},
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
    • C_D=0{,}44 (valor assumido baseado em correlações para esferas em Re moderado).
  • Substituindo na fórmula:
V_t = \sqrt{\dfrac{4(2650-1{,}2)\times 9{,}81\times 0{,}002362}{3\times 0{,}44\times 1{,}2}}.
Faço as contas com ordem:
  • 2650-1{,}2=2648{,}8.
  • Numerador: 4\times 2648{,}8\times 9{,}81\times 0{,}002362 \approx 245{,}4 (unidade: N·m/kg cancela deixando m2/s2 sob a raiz).
  • Denominador: 3\times 0{,}44\times 1{,}2 = 1{,}584.
  • Razão: 245{,}4 / 1{,}584 \approx 154{,}9.
  • V_t \approx \sqrt{154{,}9}\approx 12{,}45\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação do número de Reynolds com esse V_t:
\mathrm{Re}=\frac{\rho_f V_t d}{\mu}=\frac{1{,}2\times 12{,}45\times 0{,}002362}{1{,}8\times10^{-5}}\approx 1{,}73\times10^{3},
o que confirma que estamos num regime em que C_D\approx 0{,}44 é razoável. (Se necessário faria uma iteração para refinar C_D, mas o valor está convergente.)
  • Conclusão prática: a velocidade do ar no elutriador a 20^\circ\mathrm{C} deve ser aproximadamente \,12{,}45\\ \mathrm{m/s}. Em engenharia costuma-se adotar um número com 2 dígitos significativos: 12{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular as quantidades de partículas no topo e no fundo do elutriador (item d), i.e., separar dentro da corrente de grossos o que é realmente fino e será levado para cima e o que é grosso e cairá.\n
  • Entramos no elutriador com a corrente de grossos resultante da peneira: R=53{,}93\\ \mathrm{kg/s} (calculado no Passo 3).
  • A tabela de análise da corrente “Grossos” dá a fração cumulativa de passagem para várias malhas; em particular, na linha da malha 8 ( D=2{,}362\\ \mathrm{mm} ) a coluna “Grossos” vale 0{,}43. Interpretação: 43\% da massa da corrente de grossos é menor que 2{,}362\\ \mathrm{mm} — ou seja, são finos presentes no retentado (estes serão remobilizados pelo elutriador).
  • Portanto:
    • Massa que sobe (topo do elutriador) = massa de finos presos nos grossos = R\times 0{,}43 = 53{,}93\times 0{,}43 \approx 23{,}18\\ \mathrm{kg/s}.
    • Massa que fica no fundo (partículas maiores que 2{,}362\\ \mathrm{mm}) = R - 23{,}18 = 30{,}75\\ \mathrm{kg/s}.
  • Complemento prático: após o elutriador, as quantidades finais seriam:
    • Total de finos (diretamente da peneira + recuperados pelo elutriador) =46{,}07 + 23{,}18 = 69{,}25\\ \mathrm{kg/s}.
    • Total de grossos finais =30{,}75\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

a) Finos (pásso da peneira): 46{,}07\\ \mathrm{kg/s}
a) Grossos (retidos pela peneira): 53{,}93\\ \mathrm{kg/s}
b) Eficiência global da peneira: 76{,}8\%
c) Velocidade do ar no elutriador (aprox.): 12{,}5\\ \mathrm{m/s}
d) No elutriador — topo (arrastado): 23{,}18\\ \mathrm{kg/s}
d) No elutriador — fundo (assentado): 30{,}75\\ \mathrm{kg/s}

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