QUESTÃO 2 (
pontos): Uma mistura de partículas aproximadamente esféricas (
) apresenta a seguinte granulometria:
Di em mm
A mistura foi inicialmente peneirada em uma peneira de mesh 8 e as análises de peneira cumulativa das correntes de grossos e de finos estão na tabela seguinte.
Mesh
Dp (mm)
X
Grossos
Finos
4
4,699
0
-
6
3,327
0,071
-
8
2,362
0,43
-
10
1,651
0,85
0,195
14
1,168
0,97
0,58
20
0,833
0,99
0,83
28
0,589
1,00
0,91
35
0,417
-
0,94
65
0,208
-
0,975
100
0,147
-
1,00
Fundo
-
-
-
O objetivo é separar completamente as partículas em duas frações, uma com tamanhos abaixo do mesh 8 e outra com tamanhos acima desse mesh. Para tanto, a corrente de grossos proveniente da peneiração é alimentada em um elutriador. Para uma alimentação de
na peneiração, determine:
a)
As vazões de finos e grossos obtidas na peneira:
b)
A eficiência global da peneira.
c)
A velocidade do ar a
no elutriador (
).
d)
As quantidades de partículas no topo e no fundo do elutriador.
| Mesh | Dp (mm) | X | |
| Grossos | Finos | ||
| 4 | 4,699 | 0 | - |
| 6 | 3,327 | 0,071 | - |
| 8 | 2,362 | 0,43 | - |
| 10 | 1,651 | 0,85 | 0,195 |
| 14 | 1,168 | 0,97 | 0,58 |
| 20 | 0,833 | 0,99 | 0,83 |
| 28 | 0,589 | 1,00 | 0,91 |
| 35 | 0,417 | - | 0,94 |
| 65 | 0,208 | - | 0,975 |
| 100 | 0,147 | - | 1,00 |
| Fundo | - | - | - |
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou organizar certinho o que o enunciado dá e o que ele pede (sem começar a resolver ainda).\n
- Dados fornecidos importantes:
- Densidade das partículas:
. - Granulometria escrita como
com em mm. Esse formato é típico do ajuste de Rosin–Rammler, onde o argumento aparece no expoente da forma cumulativa . Vou usar essa interpretação (explico a teoria no passo seguinte). - Tabela com diâmetros equivalentes das malhas
(em mm) e análises cumulativas das correntes “Grossos” e “Finos” (valores entre 0 e 1 nas colunas da tabela). - Alimentação na peneira:
. - Elutriador: dados do ar a
: e .
- Densidade das partículas:
- O que o enunciado pede:
a) As vazões (kg/s) de finos e grossos obtidas na peneira para alimentação de.
b) A eficiência global da peneira (ou seja, fração da massa corretamente classificada).
c) A velocidade do ar no elutriador (em m/s) para completar a separação entre partículas abaixo e acima do mesh 8.
d) As quantidades (kg/s) de partículas no topo e no fundo do elutriador (isto é, quanto do fluxo de grossos entra e sai para cima/baixo). - Observação sobre a tabela: usei os números das colunas “Grossos” e “Finos” como curvas cumulativas de passagem (fração menor que
) das respectivas correntes — é o uso mais natural numa análise de peneira e elutriação.
Passo 2
Entendendo a granulometria e como obter a fração de alimentação que passa cada malha (a base matemática que vamos usar).\n
- Modelo de Rosin–Rammler (comum para granulometrias): a fração acumulada mais fina que um diâmetro
é dada por
onde
Aqui o enunciado fornece exatamente
. Logo identificamos
e
.
- Interpretação prática: para qualquer malha com abertura
(em mm) a fração do material da mistura inicial que é menor que (i.e., passa por essa malha) é
- Exemplo numérico rápido para memorizar o processo: para
(mesh 8), calculamos primeiro e depois . Vou usar esse procedimento para achar a fração da alimentação que passa a malha 8 (isto é, os “finos” que saem diretamente da peneira).
Passo 3
Calcular a fração da alimentação que passa a malha 8 (isto é, a fração de finos do feed) e, assim, as vazões de finos e grossos da peneira (item a).\n
- Calcular
para :
Faço passo a passo (mantendo números com 4 dígitos relevantes):
- Agora a fração mais fina que
na alimentação é
- Portanto, para alimentação de
: - Vazão de finos (passaram pela malha 8):
- Vazão de grossos (retenção na malha 8):
- Vazão de finos (passaram pela malha 8):
- Interpretação: cerca de
passam a malha 8 (saem como finos), e ficam como grossos após a peneira.
Passo 4
Como avaliar a eficiência global da peneira (item b): definição e cálculo usando os dados de distribuição das correntes.\n
- Definição prática usada aqui (muito usada em problemas de classificação): eficiência global = fração da massa corretamente classificada pela peneira, i.e., massa de partículas corretamente encaminhadas (partículas menores que a malha que foram para “finos” + partículas maiores que a malha que ficaram em “grossos”) dividido pela massa total de alimentação.
- Para calcular isso preciso da massa mal colocada:
- Partículas finas (menores que
) que ficaram na corrente de grossos = massa dos grossos fração deles que é menor que . A tabela dá exatamente essa fração para a coluna “Grossos” no : (interpretei isso como fração cumulativa que é menor que dentro do material “Grossos”). - Partículas grossas (maiores que
) que passaram para a corrente de finos: em princípio, a corrente de finos foi o produto da passagem pela malha 8, logo não contém partículas maiores que 8 (assumimos essa idealização nos dados fornecidos). Assim, mensuramos apenas o primeiro tipo de erro (finos retidos em grossos) usando a tabela.
- Partículas finas (menores que
- Cálculo explícito:
- Massa de grossos:
. - Fração de grossos que é, na realidade, fina (passa a 8):
. - Massa de finos na corrente de grossos (mal classificada):
- Massa corretamente classificada = massa total - massa mal classificada =
- Eficiência global:
- Massa de grossos:
- Interpretação: cerca de
da massa foi classificada corretamente pela peneira; o erro principal está nas finas que ficaram retidas na corrente de grossos (segundo a análise dada).
Passo 5
Preparação para o elutriador (entendimento físico e escolha do critério de separação): como determinamos a velocidade do ar (item c).\n
- Objetivo do elutriador: com um fluxo de ar ascendente, arrastar as partículas mais leves/menores (fino) para o topo e permitir que as partículas maiores/mais pesadas caiam para o fundo. A velocidade de ar a ser escolhida tipicamente coincide com a velocidade terminal (settling velocity) das partículas-limite que queremos separar. Aqui queremos separar completamente partículas abaixo e acima do mesh 8 (
), então tomamos a velocidade do ar igual à velocidade terminal da partícula de diâmetro : partículas menores terão velocidade terminal menor e serão arrastadas; partículas maiores terão velocidade terminal maior e cairão. - Balanço de forças para velocidade terminal
(sólido esférico em fluido): peso aparente = resistência aerodinâmica (arraste). Para esferas
Simplificando:
- Observação:
(coeficiente de arraste) depende do número de Reynolds . Para partículas com diâmetros na faixa de mm e velocidades de , estamos em da ordem de 10^3 — regime em que é aproximadamente constante, em torno de – . A aproximação comum é usar (valor típico para esferas em regime “Newtoniano” do arrasto). Vou usar e depois verificar coerência com o Re obtido (iterativo se fosse necessário).
Passo 6
Cálculo numérico da velocidade terminal (e, portanto, da velocidade do ar no elutriador) para
(item c), com detalhamento das unidades.\n
- Converter diâmetro para SI:
- Dados numéricos:
-
, -
, -
, -
(valor assumido baseado em correlações para esferas em Re moderado).
-
- Substituindo na fórmula:
Faço as contas com ordem:
-
. - Numerador:
(unidade: N·m/kg cancela deixando m2/s2 sob a raiz). - Denominador:
. - Razão:
. -
- Verificação do número de Reynolds com esse
:
o que confirma que estamos num regime em que
é razoável. (Se necessário faria uma iteração para refinar
, mas o valor está convergente.)
- Conclusão prática: a velocidade do ar no elutriador a
deve ser aproximadamente . Em engenharia costuma-se adotar um número com 2 dígitos significativos: .
Passo 7
Calcular as quantidades de partículas no topo e no fundo do elutriador (item d), i.e., separar dentro da corrente de grossos o que é realmente fino e será levado para cima e o que é grosso e cairá.\n
- Entramos no elutriador com a corrente de grossos resultante da peneira:
(calculado no Passo 3). - A tabela de análise da corrente “Grossos” dá a fração cumulativa de passagem para várias malhas; em particular, na linha da malha 8 (
) a coluna “Grossos” vale . Interpretação: da massa da corrente de grossos é menor que — ou seja, são finos presentes no retentado (estes serão remobilizados pelo elutriador). - Portanto:
- Massa que sobe (topo do elutriador) = massa de finos presos nos grossos =
- Massa que fica no fundo (partículas maiores que
) =
- Massa que sobe (topo do elutriador) = massa de finos presos nos grossos =
- Complemento prático: após o elutriador, as quantidades finais seriam:
- Total de finos (diretamente da peneira + recuperados pelo elutriador)
- Total de grossos finais
- Total de finos (diretamente da peneira + recuperados pelo elutriador)
Resposta
a) Finos (pásso da peneira):
a) Grossos (retidos pela peneira):
a) Grossos (retidos pela peneira):
b) Eficiência global da peneira:
c) Velocidade do ar no elutriador (aprox.):
d) No elutriador — topo (arrastado):
d) No elutriador — fundo (assentado):
d) No elutriador — fundo (assentado):