Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine uma solução alternativa para a ligação da questão anterior considerando:
a) Um ajuste por chaveta tipo B (determine o comprimento da chaveta para todas as falhas possíveis (cisalhamento na chaveta; compressão na chaveta, cubo e eixo).
Considere como material da chaveta a liga de alumínio AA 5052 recozido ( \sigma_{\mathrm{e}}=65 \mathrm{MPa} ) e um fator de segurança para choques leves ( \mathrm{n}=1,5 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento da chaveta (tipo B) de modo que não falhe por (1) cisalhamento na chaveta e (2) compressão (esmagamento) na chaveta, no cubo e no eixo. Como dados fornecidos temos apenas o material da chaveta e sua resistência: \sigma_{\mathrm{e}}=65\\ \mathrm{MPa} (liga de alumínio AA 5052 recozido) e o fator de segurança \;n=1{,}5.\n
Informações que são necessárias e que NÃO foram fornecidas no enunciado (sem elas não é possível calcular um comprimento numérico):
  • O torque transmitido T (ou potência e velocidade que permitam obter T).
  • O diâmetro do eixo (d) onde a chaveta atua.
  • As dimensões da chaveta transversalmente: largura (b) e altura total (h) (ou a indicação do padrão normalizado que se pretende usar para a chaveta tipo B para obter b e h).
  • As resistências admissíveis (ou materiais) do cubo e do eixo, pois a compressão crítica pode ocorrer nesses corpos com propriedades diferentes da chaveta.
Como o enunciado depende diretamente desses dados (principalmente T,d,b,h e materiais do cubo/eixo), NÃO há como fornecer um valor numérico final para o comprimento. O que eu posso (e vou) fazer é: explicar passo a passo a teoria, deduzir as fórmulas que você deve usar na prova, calcular os limites admissíveis da chaveta (com os dados que você deu) e mostrar explicitamente as expressões finais onde você só precisa substituir os valores faltantes. Isso te deixa pronto para, em prova, inserir os números e obter a resposta rapidamente.

Passo 2

Vamos calcular primeiro as tensões admissíveis da chaveta a partir de \sigma_{\mathrm{e}} e do fator de segurança \;n.
Explicando a ideia:
  • \sigma_{\mathrm{e}} é a resistência à escoamento do material (ou resistência de referência).
  • Para evitar escoamento por compressão/fluência usamos uma tensão admissível à compressão \sigma_{\mathrm{adm}}=\dfrac{\sigma_{\mathrm{e}}}{n}.
  • Para evitar escoamento por cisalhamento usamos a relação de escoamento em cisalhamento: a tensão de escoamento em cisalhamento pura, pelo critério von Mises, é \tau_{y}=\dfrac{\sigma_{y}}{\sqrt{3}}. Assim a tensão admissível ao cisalhamento será \tau_{\mathrm{adm}}=\dfrac{\sigma_{\mathrm{e}}}{\sqrt{3}\,n}.
Calculemos numericamente (substituindo \sigma_{\mathrm{e}}=65\\ \mathrm{MPa} e n=1{,}5):\n \sigma_{\mathrm{adm}}=\dfrac{\sigma_{\mathrm{e}}}{n}=\dfrac{65\\ \mathrm{MPa}}{1{,}5}=43{,}33\\ \mathrm{MPa}.\n \tau_{\mathrm{adm}}=\dfrac{\sigma_{\mathrm{e}}}{\sqrt{3}\,n}=\dfrac{65\\ \mathrm{MPa}}{\sqrt{3}\cdot 1{,}5}=\dfrac{65}{1{,}5\sqrt{3}}\\ \mathrm{MPa}\approx 25{,}02\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Agora vamos expressar a força tangencial F que a chaveta deve transmitir em função do torque T e do diâmetro do eixo d.
Motivação física: o torque T é o momento da força tangencial F em relação ao centro do eixo; o braço é o raio r=d/2. Assim:
T=F\cdot r = F\cdot \dfrac{d}{2}\quad\Longrightarrow\quad F=\dfrac{2T}{d}.
Isso é muito usado em prova: primeiro converte-se o torque em força tangencial atuante na chaveta.

Passo 4

Cisalhamento na chaveta — derivação passo a passo e fórmula para L.
Modelo e hipóteses: a chaveta é submetida a cisalhamento simples por uma força tangencial F. Áreas de cisalhamento: para uma chaveta tipo B (paralela alojada em um único plano de corte) a área sujeita ao cisalhamento é A_{\text{cis}}=b\cdot L, onde b é a largura da chaveta e L o comprimento que queremos determinar.
A tensão de cisalhamento média é
\tau=\dfrac{F}{A_{\text{cis}}}=\dfrac{F}{bL}.
Substituindo F=\dfrac{2T}{d} obtemos
\tau=\dfrac{2T}{d\,b\,L}.
Para garantir segurança fazemos \tau \le \tau_{\mathrm{adm}}. Isolando L vem
L_{\text{cisalhamento}}=\dfrac{2T}{d\,b\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Observação prática: se a chaveta estivesse em duplo cisalhamento (situação com duas superfícies que cortam), a área resistente duplicaria e o comprimento requerido cairia pela metade; então confirme na prova se é cisalhamento simples ou duplo.

Passo 5

Compressão (esmagamento) na chaveta, no cubo e no eixo — derivação e fórmulas.
Explicação física: a força F transmite-se por pressão de contato (bearing) entre as superfícies laterais da chaveta e as superfícies do cubo/eixo. A tensão de compressão média na superfície de contato é dada por \sigma = \dfrac{F}{\text{área de contato}}á.
Geometria usual (padrão de chaveta retangular): a altura total da chaveta é h. Normalmente a profundidade do assentamento no eixo é h_{\text{eixo}}=h/2 e no cubo h_{\text{cubo}}=h/2 (ou seja, cada peça acomoda metade da altura). A área de contato em cada peça é \,A_{\text{cont}}=t\cdot L onde t é a “espessura” de contato nessa peça (por exemplo t=h/2 se for metade).
Tomando o contato no cubo (ou no eixo) com t=h/2, a tensão de compressão média é
\sigma_{\text{comp}}=\dfrac{F}{(h/2)\,L}=\dfrac{2F}{hL}.
Substituindo F=\dfrac{2T}{d}
\sigma_{\text{comp}}=\dfrac{2\cdot \dfrac{2T}{d}}{hL}=\dfrac{4T}{d\,h\,L}.
Impondo \sigma_{\text{comp}}\le \sigma_{\mathrm{adm}} (cada peça tem seu \sigma_{\mathrm{adm}} dependendo do material), isolamos L:
L_{\text{compressão}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm}}}.ã
Observações importantes:
  • Para a chaveta em si, use \sigma_{\mathrm{adm}} da chaveta (já calculado no Passo 2).
  • Para o cubo e para o eixo use os \sigma_{\mathrm{adm}} correspondentes aos materiais do cubo e do eixo (esses valores não foram informados no enunciado).
  • Se o assentamento no eixo ou cubo não for exatamente h/2 (por exemplo por projeto ou padrão diferente), substitua h/2 por t_{\text{eixo}} ou t_{\text{cubo}} na fórmula geral \sigma_{\text{comp}}=F/(t\,L) e isole L por L=F/(t\,\sigma_{\mathrm{adm}}) com F=2T/d.

Passo 6

Substituição dos valores admissíveis da chaveta nas fórmulas (deixe as quantidades desconhecidas simbólicas). Isto é o que você precisa escrever e calcular rapidamente em prova ao conhecer T,d,b,h.
Tensões admissíveis já obtidas:
\sigma_{\mathrm{adm,chaveta}}=43{,}33\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\mathrm{adm,chaveta}}=25{,}02\\ \mathrm{MPa}.
Fórmulas finais para o comprimento mínimo L exigido por cada modo de falha:
Cisalhamento na chaveta:
L_{\text{cisalhamento}}=\dfrac{2T}{d\,b\,\tau_{\mathrm{adm,chaveta}}} =\dfrac{2T}{d\,b\cdot 25{,}02\\ \mathrm{MPa}}.
Compressão (esmagamento) na chaveta:
L_{\text{compressão,chaveta}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,chaveta}}} =\dfrac{4T}{d\,h\cdot 43{,}33\\ \mathrm{MPa}}.ã
Compressão no cubo (usar \sigma_{\mathrm{adm,cubo}} do material do cubo):
L_{\text{compressão,cubo}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,cubo}}}.ã
Compressão no eixo (usar \sigma_{\mathrm{adm,eixo}} do material do eixo):
L_{\text{compressão,eixo}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,eixo}}}.ã
Modo de escolha final: o comprimento mínimo da chaveta que evita todas as falhas é
L_{\min}=\max\bigl(L_{\text{cisalhamento}},\,L_{\text{compressão,chaveta}},\,L_{\text{compressão,cubo}},\,L_{\text{compressão,eixo}}\bigr).ããã
Depois de obter L_{\min} escolher a primeira medida comercial padrão de chaveta maior ou igual a L_{\min} (e arredondar para cima), e verificar novamente se o ajuste é compatível com normas (DIN/ISO) e folgas.

Passo 7

Resumo prático (passo a passo para a prova; você faz isso em 1 página):
  1. pegar T e d. Calcule F=2T/d.
  2. consultar as dimensões da chaveta tipo B escolhida (obter b,h — tabelas normalizadas) ou usar b,h dados no enunciado.
  3. calcular \tau_{\mathrm{adm,chaveta}} e \sigma_{\mathrm{adm,chaveta}} (já calculei; veja Passo 2). Para cubo/eixo usar \sigma_{\mathrm{adm}} desses materiais.
  4. calcular L_{\text{cisalhamento}} e os L_{\text{compressão}}ã com as fórmulas do Passo 6.
  5. tomar L_{\min}=\max(\cdots), arredondar para o comprimento padrão e verificar novamente.
Observação de segurança: confirme se a chaveta está em cisalhamento simples ou duplo; ajuste a fórmula de cisalhamento dividindo por 2 se for duplo (área resistente dobra).

Passo 8

Conclusão direta sobre o pedido do enunciado: com os dados que você forneceu (apenas \sigma_{\mathrm{e}}=65\\ \mathrm{MPa} e n=1{,}5) eu não posso dar um valor numérico final para o comprimento da chaveta porque faltam T, d, b, h e os materiais do cubo/eixo. Entretanto, eu já:
  • deduzi as fórmulas usadas na prova;
  • calculei as tensões admissíveis da chaveta ( \sigma_{\mathrm{adm}}=43{,}33\\ \mathrm{MPa} e \tau_{\mathrm{adm}}=25{,}02\\ \mathrm{MPa});
  • escrevi as expressões finais de L que você só precisa avaliar substituindo os valores que faltam.
Se você me passar agora os valores de T, d, b, h e os materiais do cubo/eixo (ou as respectivas tensões admissíveis), eu já faço os cálculos numéricos rapidamente e te dou o comprimento final pronto para usar na prova — e já seleciono a medida comercial mais próxima.

Resposta

\sigma_{\mathrm{adm,chaveta}}=43{,}33\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\mathrm{adm,chaveta}}=25{,}02\\ \mathrm{MPa}.\n\n L_{\text{cisalhamento}}=\dfrac{2T}{d\,b\,\tau_{\mathrm{adm,chaveta}}}=\dfrac{2T}{d\,b\cdot 25{,}02\\ \mathrm{MPa}}.\n\n L_{\text{compressão,chaveta}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,chaveta}}}=\dfrac{4T}{d\,h\cdot 43{,}33\\ \mathrm{MPa}}.ã\n\n L_{\text{compressão,cubo}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,cubo}}}.ã\n\n L_{\text{compressão,eixo}}=\dfrac{4T}{d\,h\,\sigma_{\mathrm{adm,eixo}}}.ã\n\n L_{\min}=\max\bigl(L_{\text{cisalhamento}},\,L_{\text{compressão,chaveta}},\,L_{\text{compressão,cubo}},\,L_{\text{compressão,eixo}}\bigr).ããã\n\n(Não é possível fornecer valores numéricos de L sem T,d,b,h e sem as resistências admissíveis do cubo e do eixo.)

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