Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo vertical de 24,4 \mathrm{~m} de altura, a partir de uma torre de água. O tubo mais longo no sistema tem 182,9 \mathrm{~m} e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de idade. O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas menores podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é 101,6 \mathrm{~mm}. Determine a vazão máxima (em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) de água através desse tubo.
Passo 1
O enunciado pede a vazão máxima de água que pode passar por um tubo, dado um certo desnível disponível. Informações fornecidas pelo enunciado: \; \; - altura do reservatório (desnível disponível): H=24{,}4\\ \mathrm{m}. \; - comprimento do tubo: L=182{,}9\\ \mathrm{m}. \; - diâmetro interno do tubo: D=101{,}6\\ \mathrm{mm}=0{,}1016\\ \mathrm{m}. \; - material: ferro fundido com cerca de 20 anos (indicando uma rugosidade típica). \; - existe uma válvula de gaveta (perda localizada a considerar). \; - outras perdas menores podem ser desprezadas. \;
Pergunta explícita: determinar a vazão máxima Q (em \mathrm{m^{3}/s}) que o tubo pode fornecer.
Passo 2
Estratégia física básica (sem resolver ainda): a perda de carga total no tubo (perda por atrito ao longo do comprimento + perda na válvula) não pode exceder o desnível disponível H. Assim, impomos a igualdade
H = h_{\text{atrito}} + h_{\text{válvula}}.
Usaremos a fórmula de Darcy–Weisbach para a perda por atrito e a fórmula padrão para perda localizada por coeficiente K. Vou explicar essas fórmulas no Passo 3.
Passo 3
Apresentando as fórmulas e o significado de cada termo:
velocidade média no tubo: \;V\;=\;\dfrac{Q}{A}, onde \;A=\dfrac{\pi D^{2}}{4} é a área da seção transversal.
onde f é o fator de atrito adimensional, g é a aceleração da gravidade (g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
perda localizada na válvula:
h_{\text{válvula}} = K\,\dfrac{V^{2}}{2g},
onde K é o coeficiente de perda equivalente da válvula (depende do tipo e posição).
portanto a perda total:
H = \left(f\,\dfrac{L}{D} + K\right)\dfrac{V^{2}}{2g}.
Isolando V:
V = \sqrt{\dfrac{2gH}{f\,\dfrac{L}{D} + K}}.
Observação importante: f depende de Reynolds \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D}; logo temos uma relação implícita que exige iteração. Vou explicar como obter f no próximo passo.
Passo 4
Como obter o fator de atrito f:
Reynolds: \mathrm{Re}=\dfrac{VD}{\nu}, onde \nu é a viscosidade cinemática da água (usarei \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}, valor próximo à água à temperatura ambiente).
rugosidade absoluta típica para tubo de ferro fundido envelhecido: vou adotar \varepsilon=0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (valor típico para ferro fundido antigo).
para resolver f de forma eficiente uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (bom compromisso entre precisão e praticidade):
f = 0{,}25\Bigg[\log_{10}\!\Bigg(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigg)\Bigg]^{-2}.
Essa fórmula dá f em função de \varepsilon/D e \mathrm{Re} sem necessidade de iteração de Colebrook; porém como \mathrm{Re} depende de V (e V depende de f), faremos um processo iterativo simples: chutar um f, calcular V, calcular \mathrm{Re}, atualizar f com Swamee–Jain, recalcular V e repetir até convergência.
Também precisamos do coeficiente K da válvula de gaveta. Uma válvula de gaveta totalmente aberta tem tipicamente K baixo; usarei um valor típico K=0{,}15. Se a válvula estivesse parcialmente fechada K seria maior, mas o enunciado só diz que existe uma válvula de gaveta, então usamos um valor usual para “aberta”.
A diferença entre f_{1} e f_{2} é insignificante; portanto o processo já convergiu.
Passo 8
Com o f convergido (tomamos f\approx 0{,}02564) usamos a velocidade correspondente V\approx 3{,}216\\ \mathrm{m/s} (valor médio das iterações). Agora calculamos a área da seção e a vazão:
Q = A V \approx 0{,}008106\cdot 3{,}216 \approx 0{,}02607\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Passo 9
Interpretação e verificação rápida: \; - Reynolds final está na faixa turbulenta (algumas 10^{5}), coerente com uso de fórmula de Moody/Colebrook. \; - rugosidade e K foram escolhidos com valores típicos; se a válvula estiver mais fechada (maior K) ou se a rugosidade for maior, Q diminuiria. Se for preciso, podemos recalcular com outros valores de K ou \varepsilon.