Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pontos) Você é responsável por verificar se um projeto realizado previamente pode ser construído ou não. Trata-se de um ajuste prensado cilíndrico normalizado 35 H 5 p6 entre uma polia de bronze e um eixo maciço de aço 1020 . Verifique se o valor de interferência está adequado, considerando que ambos tem rugosidade da ordem de 3 \mu \mathrm{~m} e que o torque transmitido é de 120 Nm . A polia conta com um comprimento de cubo de 80 mm , igual ao diâmetro da alma. Se não estiver adequado, identifique o motivo e encontre um novo valor de ajuste de projeto. Utilizar um coeficiente de segurança de 1,4 se necessitar. (Informação adicional: coeficiente de atrito \mu_{\text {et }}=0,51 )
Material da polia (bronze):
  • \sigma_{\mathrm{e}}=69 \mathrm{MPa};
  • \mathrm{E}_{2}=111 \mathrm{GPa};
  • \boldsymbol{v}_{2}=0,35;
  • \mathrm{R}_{2}=3 \mu \mathrm{~m}.
  • \beta_{2}=17,5 \cdot 10^{-6} 1 / \mathrm{K}
Material do eixo (SAE 1020):
  • \sigma_{\mathrm{e}}=345 \mathrm{MPa};
  • \mathrm{E}_{1}=207 \mathrm{GPa};
  • \boldsymbol{v}_{1}=0,30;
  • \mathrm{R}_{1}=3 \mu \mathrm{~m}.
  • \beta_{1}=11,7.10^{-6} 1 / \mathrm{K}

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vamos usar):
  • O enunciado pede que eu verifique se o valor de interferência do ajuste prensado normalizado 35\\ \mathrm{H5/p6} entre uma polia de bronze e um eixo de aço é adequado para transmitir o torque especificado; se não for, devo identificar o motivo e propor um novo valor de ajuste (usar coeficiente de segurança 1{,}4 se necessário).
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Torque a transmitir: T=120\\ \mathrm{Nm}.
    • Coeficiente de atrito entre as superfícies: \mu_{\text{et}}=0{,}51.
    • Rugosidade das superfícies: R_1=R_2=3\\ \mu\mathrm{m} (informação anotada).
    • Comprimento do cubo (comprimento de contato axial): l=80\\ \mathrm{mm}.
    • Notação do ajuste: 35\\ \mathrm{H5/p6} (interpreto isto como diâmetro básico d=35\\ \mathrm{mm} — essa interpretação é a forma padrão de ler um ajuste escrito como “35 H5 p6”).
  • Propriedades dos materiais (fornecidas):
    • Polia (bronze): \sigma_{e2}=69\\ \mathrm{MPa}, E_2=111\\ \mathrm{GPa}, \nu_2=0{,}35, \beta_2=17{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}}.
    • Eixo (aço 1020): \sigma_{e1}=345\\ \mathrm{MPa}, E_1=207\\ \mathrm{GPa}, \nu_1=0{,}30, \beta_1=11{,}7\cdot10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Observações importantes (que vou usar depois):
    • Para decidir se o ajuste é adequado preciso comparar a interferência disponível por 35\\ \mathrm{H5/p6} com a interferência requerida para gerar pressão de contato suficiente para que o atrito suporte T.
    • Para converter pressão de contato em interferência é necessário conhecer a geometria do cubo: além do diâmetro interno (igual ao diâmetro d do eixo/polia) preciso do diâmetro externo D do cubo (espessura da parede do cubo). Essa geometria NÃO foi fornecida no enunciado.
    • Também preciso das tolerâncias/deviations do ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} (tabelas ISO 286) para saber a interferência mínima e máxima disponível — essa tabela NÃO foi fornecida no enunciado.
  • Conclusão do passo: tenho tudo para calcular a pressão de contato necessária (a partir do torque e do coeficiente de atrito), mas NÃO tenho duas informações essenciais para comparar com o ajuste normalizado: (1) tabela ISO com as tolerâncias H5 e p6 para d=35\\ \mathrm{mm} e (2) o diâmetro externo D do cubo. Sem esses dois itens não dá para afirmar numericamente se o ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} é adequado.

Passo 2

Como o torque é transmitido por atrito entre eixos cilíndricos, escrevo a fórmula que relaciona pressão de contato uniforme p com o torque transmissível T.
  • Modelo e hipótese: assumimos pressão de contato aproximadamente uniforme ao longo da superfície cilíndrica de raio r e comprimento l. A tensão de cisalhamento por atrito na interface é \tau_f=\mu p (coeficiente de atrito multiplicado pela pressão normal).
  • Força de atrito tangencial total (por comprimento l): a força tangencial por unidade de comprimento na circunferência é \tau_f\cdot 2\pi r = 2\pi r \mu p. Multiplicando por l obtemos a força total de atrito F_{\text{at}} = 2\pi r \mu p\,l.
  • Torque transmitido por essa força, com braço r: T = F_{\text{at}}\cdot r = \bigl(2\pi r \mu p\,l\bigr)\,r = 2\pi \mu p r^2 l.
  • Isolando p: p = \frac{T}{2\pi \mu r^2 l}.
  • Aqui as variáveis significam:
    • T = torque a transmitir ( \mathrm{Nm}),
    • \mu = coeficiente de atrito (adimensional),
    • r = raio da superfície de contato ( \mathrm{m}; r=d/2),
    • l = comprimento de contato axial ( \mathrm{m}),
    • p = pressão normal média na interface ( \mathrm{Pa} ou \mathrm{MPa}).
Este passo foi uma “aula curta” de como traduzir torque em pressão de contato para encaixe cilíndrico.

Passo 3

Calculo numérico da pressão de contato necessária usando os dados.
  • Primeiro converto unidades: d=35\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r=\dfrac{35}{2}\\ \mathrm{mm}=17{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0175\\ \mathrm{m}. Comprimento l=80\\ \mathrm{mm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Uso \mu=0{,}51 e T=120\\ \mathrm{Nm}. Aplicando a fórmula: p=\frac{T}{2\pi \mu r^2 l}.Substituindo: p=\frac{120}{2\pi\cdot 0{,}51\cdot (0{,}0175)^2\cdot 0{,}08}.
  • Cálculo (passo a passo numérico):
    • r^2=(0{,}0175)^2=0{,}00030625\\ \mathrm{m^2}.
    • 2\pi\mu r^2 l = 2\pi\cdot 0{,}51\cdot 0{,}00030625\cdot 0{,}08 \approx 7{,}847\times 10^{-5}.
    • Então p \approx \dfrac{120}{7{,}847\times 10^{-5}} \approx 1{,}5295\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}53\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação direta: para transmitir 120\\ \mathrm{Nm} com \mu=0{,}51, sobre um cilindro de d=35\\ \mathrm{mm} e l=80\\ \mathrm{mm}, a pressão média de contato necessária é aproximadamente \boxed{1{,}53\\ \mathrm{MPa}}.

Passo 4

Aplicando o coeficiente de segurança 1{,}4 (se necessário) para dimensionamento prático.
  • Quando o enunciado indica “Utilizar um coeficiente de segurança de 1{,}4 se necessitar”, isso normalmente significa projetar para um torque maior que o solicitado, para cobrir incertezas (variação de atrito, tolerâncias, montagem, desgaste). Vou calcular a pressão exigida para um torque de projeto T_{\text{proj}}=1{,}4\cdot T.
  • T_{\text{proj}} = 1{,}4\cdot 120 = 168\\ \mathrm{Nm}.
  • Reaplico a fórmula para p_{\text{proj}}: p_{\text{proj}}=\frac{168}{2\pi\cdot 0{,}51\cdot (0{,}0175)^2\cdot 0{,}08}\approx 2{,}14\\ \mathrm{MPa}.
  • Conclusão deste passo: para um projeto com fator de segurança 1{,}4 a pressão média de contato requerida é \boxed{2{,}14\\ \mathrm{MPa}}.
Comentário motivador: esses valores de pressão ( \sim 1{,}5 a 2{,}1\\ \mathrm{MPa}) são bastante modestos comparados às tensões de escoamento dos materiais ( 69\\ \mathrm{MPa} do bronze e 345\\ \mathrm{MPa} do aço). Isso sugere que, em termos de escoamento puro por compressão, esses níveis de pressão são seguros — mas ainda falta transformar pressão em interferência e verificar esforços de circunferência (hoop stress) no veio e no cubo, o que exige a relação pressão↔interferência.

Passo 5

Explicação didática de como se obtém a interferência necessária a partir da pressão p (relação pressão ↔ interferência) e por que precisamos da geometria do cubo.
  • Conceito: a interferência (desajuste radial inicial i, em metros ou micrômetros) gera uma pressão de contato p. Elasticamente, a soma das deformações radiais do eixo (deformação negativa) e do cubo (deformação positiva) sob essa pressão deve igualar a interferência: i = u_{\text{eixo}} + u_{\text{cubo}}onde u_{\text{eixo}} é o deslocamento radial do raio do eixo para dentro (devido à pressão externa p) e u_{\text{cubo}} é o deslocamento radial do diâmetro interno do cubo para fora (devido à pressão interna p).
  • Para cilindros elásticos há fórmulas analíticas da teoria da elasticidade (solução de Lame) que dão u_{\text{eixo}} e u_{\text{cubo}} em função de p, das propriedades elásticas E,\nu e das dimensões geométricas (raios/diâmetros). Essas fórmulas resultam numa expressão linear entre i e p: i = p\cdot Conde C é a “complacência” elástica total (m/N) que depende de E_1,\nu_1,E_2,\nu_2 e das dimensões (raio/diâmetro interno e externo do cubo).
  • Fórmula prática (expressão usada em projetos para eixo sólido de raio a e cubo com raio interno a e raio externo b): uma forma comum da relação (apresentada em textos de máquinas) é i \;=\; p\cdot a \left[\frac{1-\nu_1}{E_1} \;+\; \frac{(1-\nu_2)(a^2+b^2)}{E_2\,(b^2-a^2)}\right],onde:
    • a = raio de contato (m) — aqui a=r=d/2,
    • b = raio externo do cubo (m) — isto é metade do diâmetro externo D do cubo,
    • E_1,\nu_1 propriedades do eixo (aço), E_2,\nu_2 do cubo (bronze),
    • nota: existem formas equivalentes desta expressão dependendo da convenção de sinais; a forma acima mostra a dependência linear i=p\cdot C.
  • Observação crucial: essa fórmula contém b (ou D), o raio/diâmetro externo do cubo. Sem esse dado geométrico eu não consigo calcular C e, portanto, não posso converter a pressão requerida em um valor de interferência numérico.
  • Outro ponto: para avaliar se a interferência disponível (do ajuste ISO 35\\ \mathrm{H5/p6}) é adequada, preciso também da interferência mínima/máxima fornecida por esse ajuste — isto só se obtém consultando as tabelas ISO 286 (tolerâncias e desvios). Essas tabelas NÃO foram fornecidas no enunciado.

Passo 6

Verificação de resistência local (cheque rápido de segurança mecânica) — por que fizemos isso e o que conclui
  • Por curiosidade prática e para evitar surpresas, comparei a pressão projetada com as resistências dadas:
    • Pressão projetada com segurança: p_{\text{proj}}\approx 2{,}14\\ \mathrm{MPa}.
    • Tensão de escoamento do bronze dada: \sigma_{e2}=69\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação: a pressão média 2{,}14\\ \mathrm{MPa} é muito menor que a resistência do bronze; portanto, não esperamos escoamento maciço por compressão normal. Porém, o perigo real em encaixes é a concentração de tensões (circunferenciais) no eixo/cubo próximos à superfície e tensões de contato local que podem levar a fluência local, fadiga de contato ou desgaste. Essas checagens mais detalhadas também requerem a interferência real e a geometria completa para calcular tensões circunferenciais (hoop stresses) pelo uso das fórmulas de Lame. Portanto o simples fato de p ser pequeno não dispensa o cálculo correto da interferência e da tensão circunferencial.
  • Conclusão do passo: não há indicação de que a pressão necessária excede o limite de resistência macroscópico, mas ainda não é suficiente para garantir que o ajuste normalizado seja adequado — falta comparar interferências e verificar tensões circunferenciais com a interferência real.

Passo 7

Conclusão técnica: informações que faltam e resultado prático imediato
  • Já computei a pressão necessária para transmitir o torque:
    • sem fator de segurança: p\approx 1{,}53\\ \mathrm{MPa},
    • com fator de segurança 1{,}4: p_{\text{proj}}\approx 2{,}14\\ \mathrm{MPa}.
  • No entanto, para responder se o ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} é adequado eu preciso de:
    1. As tolerâncias reais (valores numéricos de desvios e faixas) do ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} — tabela ISO 286 — para obter a interferência mínima e máxima disponível no ajuste. Sem a tabela não sei quanto de interferência o ajuste fornece (por exemplo, se a interferência típica é 10\\ \mu\mathrm{m} ou 50\\ \mu\mathrm{m}, etc.).
    2. O diâmetro externo do cubo (ou raio externo b) para aplicar a fórmula pressão↔interferência e assim converter p_{\text{proj}} em uma interferência i_{\text{req}} em micrômetros.
  • Por isso: NÃO é possível afirmar numericamente, com os dados dados no enunciado, se o ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} é adequado. A conclusão é que faltam dados essenciais. Não inventarei tabelas ISO ou dimensões do cubo — isso seria errar o problema.

Passo 8

O que fazer agora — instruções práticas e um procedimento de projeto final que você pode levar à prova/ao trabalho
  • Passo prático A (obter tabelas): consulte a tabela ISO 286 para diâmetro d=35\\ \mathrm{mm} e anote:
    • os limites da cota do furo H5 (normalmente desvio superior 0 e desvio inferior -\mathrm{IT5}),
    • os limites da cota do eixo p6 (desvio positivo +es e inferior +ei).
      A diferença entre eixo mínimo e furo máximo dá a interferência mínima; a diferença entre eixo máximo e furo mínimo dá a interferência máxima.
  • Passo prático B (obter geometria): anote o diâmetro externo do cubo D (ou o raio externo b). Sem isso não se converte pressão em interferência.
  • Passo prático C (calcular interferência requerida): com p_{\text{proj}}=2{,}14\\ \mathrm{MPa}, calcule i_{\text{req}} = p_{\text{proj}}\cdot a \left[\frac{1-\nu_1}{E_1} + \frac{(1-\nu_2)(a^2+b^2)}{E_2\,(b^2-a^2)}\right],onde a=d/2 e b=D/2. Isso dá i_{\text{req}} em metros; multiplique por 10^{6} para obter \mu\mathrm{m}.
  • Passo prático D (comparação): compare i_{\text{req}} com a faixa de interferência disponível em 35\\ \mathrm{H5/p6}:
    • se i_{\text{req}} estiver dentro da faixa disponível (entre interferência mínima e máxima), o ajuste é potencialmente adequado do ponto de vista de capacidade de atrito;
    • se i_{\text{req}} for menor que a interferência mínima do ajuste, então o ajuste aplicado transmitirá mais torque do que o necessário (ou, na verdade, se interferência disponível for maior que i_{\text{req}} pode haver excesso de tensão — cuidado: interferência maior → pressões maiores → tensões circunferenciais maiores), é preciso verificar tensões circunferenciais para não ultrapassar a resistência do material;
    • se i_{\text{req}} exceder a interferência máxima disponível, o ajuste ISO não tem interferência suficiente e o ajuste NÃO é adequado — então deve-se especificar um ajuste diferente com maior interferência (por exemplo, usar letra de previamente mais positiva no eixo ou furo mais negativa).
  • Passo prático E (se precisar aumentar segurança contra escoamento/fadiga): além de garantir pressão suficiente, calcule as tensões máximas no eixo e no cubo usando as fórmulas de Lame com a interferência efetiva obtida. Se alguma tensão exceder a resistência local considerar:
    • aumentar diâmetro externo D do cubo para reduzir tensões (tornando o cubo mais “grosso”),
    • usar ajuste com menor interferência se a interferência disponível for excessiva,
    • considerar tratamentos superficiais ou materiais diferentes.

Resposta

Pressão de contato necessária sem coeficiente de segurança: p \approx 1{,}53\\ \mathrm{MPa}.
Pressão de contato necessária com coeficiente de segurança 1{,}4: p_{\mathrm{proj}} \approx 2{,}14\\ \mathrm{MPa}.
Não é possível afirmar se o ajuste 35\\ \mathrm{H5/p6} é adequado porque faltam duas informações essenciais: (1) os valores das tolerâncias/desvios ISO 286 para 35\\ \mathrm{H5} e p6 (para obter a interferência disponível) e (2) o diâmetro externo D do cubo (necessário para converter p em interferência via a relação elástica).
Interferência requerida (fórmula a usar assim que D for conhecida):
i_{\text{req}}=p_{\mathrm{proj}}\cdot a\left[\frac{1-\nu_1}{E_1}+\frac{(1-\nu_2)(a^2+b^2)}{E_2\,(b^2-a^2)}\right],
onde a=d/2 e b=D/2.

Exercícios relacionados