4- Quando um vapor atômico é excitado por uma descarga de elétrons ou aquecido a uma temperatura muito alta, os átomos emitem radiação com comprimentos de onda bem definidos, correspondendo a transições de seus níveis de energia. Duas componentes fortes no espectro atômico de sódio têm comprimentos de onda de 589,00 \mathrm{~nm} e 589,59 \mathrm{~nm}. (a) Que poder de resolução deve ter uma grade de difração para que esses comprimentos de onda sejam distinguidos?
(b) Para resolver essas linhas no espectro de segunda ordem, quantas linhas (fendas) da grade devem ser iluminadas? (c) Se a grade tem 4 mm de lado, qual é o tamanho das fendas?

Passo 1

O enunciado dá duas componentes do espectro de sódio com comprimentos de onda \lambda_1=589{,}00\\ \mathrm{nm} e \lambda_2=589{,}59\\ \mathrm{nm}. Pede:
(a) o poder de resolução necessário para distingui-las;
(b) quantas linhas (fendas) da grade devem ser iluminadas para resolver as linhas na segunda ordem;
(c) se a grade tem 4\\ \mathrm{mm} de lado, qual é o tamanho (espaçamento) das fendas iluminadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os dois comprimentos de onda acima e o tamanho lateral da região iluminada da grade L=4\\ \mathrm{mm}. A diferença entre as linhas é \Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1.

Passo 2

Conceito e fórmula para o item (a). Para distinguir duas linhas muito próximas usamos o poder de resolução R, definido por
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda},
onde \lambda é o comprimento de onda central (ou de interesse) e \Delta\lambda é a menor diferença de comprimentos de onda que queremos distinguir. Aqui \Delta\lambda é a diferença entre as duas linhas dadas. Primeiro calculo \Delta\lambda:
\Delta\lambda=589{,}59-589{,}00=0{,}59\\ \mathrm{nm}.
Escolho como \lambda o valor médio das duas linhas (prática comum quando as linhas são muito próximas):
\lambda_{\text{médio}}=\frac{589{,}00+589{,}59}{2}=589{,}295\\ \mathrm{nm}.é
Agora aplico a fórmula:
R=\frac{589{,}295}{0{,}59}\approx999.
Interpretação: a grade precisa ter um poder de resolução da ordem de 10^{3} para separar essas duas linhas.

Passo 3

Conceito e relação para o item (b). Para uma rede de difração o poder de resolução teórico é dado por
R=mN,
onde m é a ordem de difração e N é o número de fendas (linhas) iluminadas. Aqui queremos resolver as linhas na segunda ordem, então m=2. Logo o número de fendas necessárias é
N=\frac{R}{m}.
Uso o R encontrado no passo anterior:
N=\frac{999}{2}=499{,}5.
Como N tem de ser um número inteiro de fendas e precisamos que o poder de resolução seja pelo menos o calculado, devemos iluminar no mínimo a menor quantidade inteira maior ou igual a 499{,}5, ou seja, N=500 fendas. Explicação prática: se iluminássemos só 499 fendas teríamos R=2\times499=998<R_{\text{necessário}}á, insuficiente.

Passo 4

Cálculo do tamanho (espaçamento) das fendas para o item (c). Aqui assumimos que as N fendas iluminadas ocupam uniformemente o lado da grade L. Então o espaçamento entre centros de fendas (período da rede) é
d=\frac{L}{N}.
Com L=4\\ \mathrm{mm}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e N=500, temos
d=\frac{4\\ \mathrm{mm}}{500}=0{,}008\\ \mathrm{mm}.
Faço a conversão para unidades usuais:
0{,}008\\ \mathrm{mm}=8\\ \mu\mathrm{m}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Observação didática: aqui interpretei “tamanho das fendas” como o espaçamento (período) entre fendas iluminadas; se o enunciado pedisse a largura aberta de cada fenda (em oposição ao período), essa largura não pode ser determinada sem informação extra sobre a razão entre largura da fenda e separação.

Passo 5

Resumo numérico e comentário final rápido: calculamos o poder de resolução necessário a partir da relação \,R=\lambda/\Delta\lambda, usamos a relação da rede \,R=mN para obter o número mínimo de fendas na segunda ordem, e dividimos o comprimento total iluminado pela quantidade de fendas para obter o espaçamento entre fendas. Você já tem os números práticos que precisa memorizar/usar na prova: R da ordem de 10^{3}, cerca de 500 fendas, espaçamento \sim8\\ \mu\mathrm{m}. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo!

Resposta

(a) R\approx9,99\times10^{2}\n
(b) N\ge500 fendas\n
(c) d=\dfrac{4\\ \mathrm{mm}}{500}=0{,}008\\ \mathrm{mm}=8\\ \mu\mathrm{m}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{m}

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