Questão 4 ( 2,5 pontos). Determine as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - O denominador
se anula em , mas esses pontos não estão no intervalo , logo a integranda é contínua em e a integral própria é bem definida.
Passo 2
Vamos simplificar a função racional usando divisão de polinômios (porque o grau do numerador é maior que o do denominador). A ideia é escrever
onde
é o quociente (polinômio) e
o resto de grau menor que 2. Fazendo a divisão:
- Dividindo
por obtemos . - Multiplicando
. - Subtraindo do numerador:
.
Portanto o quociente ée o resto é , isto é,
Passo 3
Agora decomponho a parte própria
em frações parciais. Como
, procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Para encontrar
e
uso valores convenientes:
- Para
: . - Para
: .
Logo
Passo 4
Reescrevo o integrando inteiro usando os resultados:
Pela linearidade da integral,
Agora uso primitivas básicas:
- Para
, uma primitiva é , porque a derivada de é . - Para
, uma primitiva é , pois .
Assim uma primitiva comum é
(Em
os argumentos das funções logarítmicas são positivos, então podemos tirar o valor absoluto sem problema.)
Passo 5
Avalio a integral definida usando
:
Calculo
e
:
Subtraindo:
Simplificando o logaritmo:
Passo 6
Portanto o valor da integral é