Questão 4 ( 2,5 pontos). Determine as integrais definidas abaixo:
\int_{2}^{4} \frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4} \frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é a função \dfrac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}.
  • Os limites de integração são x=2 e x=4.
  • O denominador x^{2}-1 se anula em x=\pm 1, mas esses pontos não estão no intervalo [2,4], logo a integranda é contínua em [2,4] e a integral própria é bem definida.

Passo 2

Vamos simplificar a função racional usando divisão de polinômios (porque o grau do numerador é maior que o do denominador). A ideia é escrever
\frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}=Q(x)+\frac{R(x)}{x^{2}-1},
onde Q(x) é o quociente (polinômio) e R(x) o resto de grau menor que 2. Fazendo a divisão:
  • Dividindo x^{4} por x^{2} obtemos x^{2}.
  • Multiplicando x^{2}(x^{2}-1)=x^{4}-x^{2}.
  • Subtraindo do numerador: (x^{4}-x^{2}+2)-(x^{4}-x^{2})=2.
    Portanto o quociente é x^{2} e o resto é 2, isto é,
\frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}=x^{2}+\frac{2}{x^{2}-1}.

Passo 3

Agora decomponho a parte própria \dfrac{2}{x^{2}-1} em frações parciais. Como x^{2}-1=(x-1)(x+1), procuro constantes A e B tais que
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por (x-1)(x+1) obtemos
2 = A(x+1)+B(x-1).
Para encontrar A e B uso valores convenientes:
  • Para x=1: 2 = A(2)\Rightarrow A=1.
  • Para x=-1: 2 = B(-2)\Rightarrow B=-1.
    Logo
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Reescrevo o integrando inteiro usando os resultados:
\frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}=x^{2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.
Pela linearidade da integral,
\int_{2}^{4}\frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}\,dx=\int_{2}^{4}x^{2}\,dx+\int_{2}^{4}\frac{1}{x-1}\,dx-\int_{2}^{4}\frac{1}{x+1}\,dx.
Agora uso primitivas básicas:
  • Para x^{2}, uma primitiva é \dfrac{x^{3}}{3}, porque a derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2}.
  • Para \dfrac{1}{x-a}, uma primitiva é \ln|x-a|, pois \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}.
    Assim uma primitiva comum é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\ln|x-1|-\ln|x+1|.
(Em [2,4] os argumentos das funções logarítmicas são positivos, então podemos tirar o valor absoluto sem problema.)

Passo 5

Avalio a integral definida usando F(x):
\int_{2}^{4}\frac{x^{4}-x^{2}+2}{x^{2}-1}\,dx=F(4)-F(2).
Calculo F(4) e F(2):
F(4)=\frac{4^{3}}{3}+\ln\!\left(\frac{4-1}{4+1}\right)=\frac{64}{3}+\ln\!\left(\frac{3}{5}\right),
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+\ln\!\left(\frac{2-1}{2+1}\right)=\frac{8}{3}+\ln\!\left(\frac{1}{3}\right).
Subtraindo:
F(4)-F(2)=\left(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}\right)+\left[\ln\!\left(\frac{3}{5}\right)-\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)\right] =\frac{56}{3}+\ln\!\left(\frac{3/5}{1/3}\right).
Simplificando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{3/5}{1/3}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{5}\cdot 3\right)=\ln\!\left(\frac{9}{5}\right).

Passo 6

Portanto o valor da integral é
\frac{56}{3}+\ln\!\left(\frac{9}{5}\right).

Resposta

\dfrac{56}{3}+\ln\!\left(\dfrac{9}{5}\right)

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