Questão 2 [
pontos]: Uma esfera condutora de carga
e raio
é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno
, raio externo
e densidade volumétrica de carga
. Use a constante da Lei de Coulomb como
e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o módulo do campo elétrico à distância
do centro do conjunto esférico (uma esfera condutora central coberta por uma casca esférica isolante).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
(foi também dado
mas usarei
para calcular o campo)
Observação importante sobre a posição pedida:
está entre
e
(isto é,
). Logo, o campo naquele ponto depende da carga total contida dentro da esfera de raio
: a carga
da esfera condutora mais a carga da porção da casca entre
e
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Para configurações esfericamente simétricas, o campo elétrico a uma distância
do centro (quando consideramos toda a carga interna) é dado pela forma coulombiana equivalente (ou pela Lei de Gauss):
onde
é a carga total contida dentro da esfera de raio
.
- Como há densidade volumétrica de carga na casca, calculamos a carga da casca interna até
integrando:
logo a carga contida na casca entre
e
é
Explico:
dá a carga por unidade de volume em cada ponto;
é o volume de uma casquinha esférica de raio
e espessura
. Multiplicando e integrando obtemos a carga acumulada entre dois raios.
Passo 3
Calcular a expressão simbólica de
e depois avaliar numericamente.
Primeiro simplificar a integral simbolicamente:
Integrando:
Agora aplico os números (seguindo a instrução: usar notação científica com duas casas decimais nas operações).
Calculo das potências (arredondando cada valor em notação científica com duas casas decimais):
Diferença:
Fator multiplicativo:
Produto para a carga da casca (arredondando o resultado em notação científica com duas casas decimais):
Carga total contida na esfera de raio
é a soma da carga da esfera condutora mais a carga da casca interna até
:
(Adicionar
é desprezível diante de
, e o resultado com duas casas decimais fica
.)
Passo 4
Calcular o campo usando
.
Primeiro
:
Agora calcular
(com duas casas decimais em notação científica):
Dividindo por
(vou colocar
também em notação conveniente com duas casas decimais):
Interpretação rápida: o valor é enorme porque a densidade dada cresce fortemente com
, gerando muita carga na casca.
Passo 5
Verificação rápida de consistência (intuitiva):
-
está dentro da casca, então o campo depende da carga total interna; fiz a integração correta de . - A ordem de grandeza do campo é compatível com a enorme carga interna calculada (dada a dependência
da densidade).