Questão 2 [ \mathbf{3 , 0} pontos]: Uma esfera condutora de carga \mathbf{q}_{0}=\mathbf{1 6} \mathbf{C} e raio \mathbf{R}_{1}=\mathbf{2 , 0} \mathbf{m} é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno \mathbf{R}_{1}, raio externo \mathbf{R}_{2}=\mathbf{5 , 2} \mathbf{m} e densidade volumétrica de carga \rho(r) =\mathbf{4 r}^{6}\left(\mathbf{C} / \mathbf{m}^{3}\right). Use a constante da Lei de Coulomb como \mathbf{k}=\mathbf{8 , 9 9} \times \mathbf{1 0}^{9} \mathbf{N} . \mathbf{m}^{2} / \mathbf{C}^{2}, \varepsilon_{0}=\mathbf{8 , 8 5} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 2}} \mathbf{C}^{\mathbf{2}} /\left(\mathbf{N m}^{\mathbf{2}}\right) e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o módulo do campo elétrico a uma distância \mathbf{r}=\mathbf{3}, \mathbf{6} \mathbf{~ m} do centro da esfera.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o módulo do campo elétrico à distância \,r=3,6\\ \mathrm{m}\, do centro do conjunto esférico (uma esfera condutora central coberta por uma casca esférica isolante).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
q_{0} = 16\\ \mathrm{C}
R_{1} = 2,0\\ \mathrm{m}
R_{2} = 5,2\\ \mathrm{m}
\rho(r) = 4\,r^{6}\\ \left(\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}\right)
k = 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
(foi também dado \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12} mas usarei k para calcular o campo)
Observação importante sobre a posição pedida: \,r=3,6\\ \mathrm{m}\, está entre R_{1} e R_{2} (isto é, R_{1}<r<R_{2}). Logo, o campo naquele ponto depende da carga total contida dentro da esfera de raio r: a carga q_{0} da esfera condutora mais a carga da porção da casca entre R_{1} e r.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Para configurações esfericamente simétricas, o campo elétrico a uma distância \,r\, do centro (quando consideramos toda a carga interna) é dado pela forma coulombiana equivalente (ou pela Lei de Gauss):
E(r)=\frac{k\,Q_{\text{int}}}{r^{2}},
onde \,Q_{\text{int}}\, é a carga total contida dentro da esfera de raio \,r\,.
  • Como há densidade volumétrica de carga na casca, calculamos a carga da casca interna até \,r\, integrando:
dV = 4\pi r'^{2}\,dr',
logo a carga contida na casca entre R_{1} e r é
Q_{\text{casca}}=\int_{R_{1}}^{r} \rho(r')\,dV = \int_{R_{1}}^{r} 4r'^{6}\cdot 4\pi r'^{2}\,dr' .
Explico: \rho(r') dá a carga por unidade de volume em cada ponto; dV é o volume de uma casquinha esférica de raio r' e espessura dr'. Multiplicando e integrando obtemos a carga acumulada entre dois raios.

Passo 3

Calcular a expressão simbólica de Q_{\text{casca}} e depois avaliar numericamente.
Primeiro simplificar a integral simbolicamente:
Q_{\text{casca}}=\int_{R_{1}}^{r} 4r'^{6}\cdot 4\pi r'^{2}\,dr' = 16\pi \int_{R_{1}}^{r} r'^{8}\,dr' .
Integrando:
Q_{\text{casca}} = 16\pi \left[\frac{r'^{9}}{9}\right]_{R_{1}}^{r} = \frac{16\pi}{9}\left(r^{9}-R_{1}^{9}\right).
Agora aplico os números (seguindo a instrução: usar notação científica com duas casas decimais nas operações).
Calculo das potências (arredondando cada valor em notação científica com duas casas decimais):
r^{9} = (3,6)^{9} \approx 1,02\times10^{5}
R_{1}^{9} = (2,0)^{9} = 5,12\times10^{2}
Diferença:
r^{9}-R_{1}^{9} \approx 1,01\times10^{5}
Fator multiplicativo:
\frac{16\pi}{9} \approx 5,59
Produto para a carga da casca (arredondando o resultado em notação científica com duas casas decimais):
Q_{\text{casca}} \approx 5,59 \times 1,01\times10^{5} \approx 5,65\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
Carga total contida na esfera de raio r é a soma da carga da esfera condutora mais a carga da casca interna até r:
Q_{\text{int}} = q_{0} + Q_{\text{casca}} \approx 1,60\times10^{1} + 5,65\times10^{5} \approx 5,65\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
(Adicionar 16\\ \mathrm{C} é desprezível diante de 5{,}65\times10^{5}\\ \mathrm{C}, e o resultado com duas casas decimais fica 5{,}65\times10^{5}\\ \mathrm{C}.)

Passo 4

Calcular o campo usando \,E(r)=\dfrac{k\,Q_{\text{int}}}{r^{2}}\,.
Primeiro r^{2}:
r^{2} = (3,6)^{2} = 12,96.
Agora calcular k\cdot Q_{\text{int}} (com duas casas decimais em notação científica):
k = 8,99\times10^{9},\qquad Q_{\text{int}}\approx 5,65\times10^{5}
k\,Q_{\text{int}} \approx (8,99\times10^{9})\cdot(5,65\times10^{5}) = (8,99\cdot5,65)\times10^{14} \approx 50,78\times10^{14} = 5,08\times10^{15}.
Dividindo por r^{2} (vou colocar r^{2} também em notação conveniente com duas casas decimais):
r^{2}=12,96 \approx 1,30\times10^{1}.
E(r)\approx \frac{5,08\times10^{15}}{1,30\times10^{1}} = \frac{5,08}{1,30}\times10^{14} \approx 3,91\times10^{14}\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação rápida: o valor é enorme porque a densidade dada cresce fortemente com r^{6}, gerando muita carga na casca.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (intuitiva):
  • r está dentro da casca, então o campo depende da carga total interna; fiz a integração correta de \rho(r).
  • A ordem de grandeza do campo é compatível com a enorme carga interna calculada (dada a dependência r^{6} da densidade).

Resposta

\,3,91\times10^{14}\\ \mathrm{N/C}

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