Questão 1 [4,0 pontos]: Duas hastas finas, onde cada haste possui uma carga
(uniformemente distribuída em cada uma delas) e comprimento
, estão dispostas perpendicularmente com uma das extremidades juntas (conforme figura abaixo). Adote a constante da Lei de Coulomb como
e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o valor da carga
(valor numérico e sinal) que uma partícula deve ter, ao ser colocada a uma distância
do ponto
, para que o potencial elétrico resultante (hastes + carga
) seja nulo
Passo 1
O problema pede: determinar a carga
(valor numérico e sinal) que uma partícula deve ter, quando essa partícula for colocada a uma distância
do ponto
, para que o potencial elétrico resultante (contribuição das duas hastes + da carga
) no ponto
seja nulo.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e também a posição de
em relação a
a partir da figura):
Observação geométrica (tirada da figura): as duas hastes formam um “L” com a extremidade em comum no ponto de coordenadas
. Uma haste vai de
até
(horizontal) e a outra vai de
até
(vertical). O ponto
está no vértice oposto do quadrado, ou seja em
. A carga
é colocada à direita de
, sobre o eixo
, a uma distância
de
; isto é,
está em
. (Então a distância de
até
é exatamente
, conforme enunciado.)
Passo 2
Vamos escrever a expressão do potencial elétrico total no ponto
. Potencial é uma grandeza escalar; somamos as contribuições das duas hastes e da carga pontual
. A condição para o potencial total em
ser zero é
Explicando o que é cada termo:
-
é a soma dos potenciais no ponto devido a cada uma das hastes (cada haste tem carga total distribuída uniformemente). -
é o potencial devido à carga pontual situada à distância de , dado por . Aqui é a constante de Coulomb e é a distância da carga até .
Passo 3
Agora calculamos
. Tomemos primeiro a haste horizontal (de
a
no eixo
). Seja
a densidade linear de carga da haste:
Considere um elemento de comprimento
localizado em
(com carga
). A distância desse elemento até
é
A contribuição de potencial desse elemento em
(com sinal positivo se
for positivo) é
.
Para obter o potencial total da haste, integramos
de
a
:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável útil
. Quando
temos
e quando
temos
. A integral fica
Agora usamos a primitiva conhecida (ou mostramos rapidamente): para
,
Aplicando com
e os limites de
a
, obtemos
Passo 5
As duas hastes são idênticas (mesmo comprimento e mesma carga total
) e contribuem com o mesmo potencial em
. Logo a contribuição total das duas hastes é
Substituindo
,
Passo 6
Agora impomos a condição de anulamento do potencial total em
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Logo isolamos
:
Observe que o resultado não depende de
nem de
(eles se cancelam): isto é uma simplificação elegante típica deste tipo de problema.
Passo 7
Agora substituímos numericamente com as regras do enunciado (usar duas casas decimais em notação científica para as operações). Vamos arredondar os valores intermediários:
-
-
(duas casas decimais) -
-
(duas casas decimais: )
Agora calcule
:
Com duas casas decimais em notação científica, isto corresponde a
, ou seja aproximadamente
.]