Questão 1 [4,0 pontos]: Duas hastas finas, onde cada haste possui uma carga \mathbf{q}=\mathbf{8} \mathbf{C} (uniformemente distribuída em cada uma delas) e comprimento \mathbf{L}=\mathbf{3} \mathbf{m}, estão dispostas perpendicularmente com uma das extremidades juntas (conforme figura abaixo). Adote a constante da Lei de Coulomb como \mathbf{k}=\mathbf{8 , 9 9} \times \mathbf{1 0}^{9} \mathbf{N} . \mathbf{m}^{2} / \mathbf{C}^{2}, \varepsilon_{0}=\mathbf{8 , 8 5} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 2}} \mathbf{C}^{\mathbf{2}} /\left(\mathbf{N m}^{\mathbf{2}}\right) e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o valor da carga \mathbf{Q} (valor numérico e sinal) que uma partícula deve ter, ao ser colocada a uma distância \mathbf{L} do ponto \mathbf{P}, para que o potencial elétrico resultante (hastes + carga \mathbf{Q} ) seja nulo

Passo 1

O problema pede: determinar a carga \mathbf{Q} (valor numérico e sinal) que uma partícula deve ter, quando essa partícula for colocada a uma distância \mathbf{L} do ponto P, para que o potencial elétrico resultante (contribuição das duas hastes + da carga \mathbf{Q}) no ponto P seja nulo.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e também a posição de \mathbf{Q} em relação a P a partir da figura):
\begin{aligned} &q=\: \mathbf{8}\,\mathrm{C},\\\ &L=\: \mathbf{3}\,\mathrm{m},\\\ &k=\: \mathbf{8{,}99\times10^{9}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},\\\ &\varepsilon_{0}=\: \mathbf{8{,}85\times10^{-12}}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}. \end{aligned}
Observação geométrica (tirada da figura): as duas hastes formam um “L” com a extremidade em comum no ponto de coordenadas (0,0). Uma haste vai de (0,0) até (L,0) (horizontal) e a outra vai de (0,0) até (0,L) (vertical). O ponto P está no vértice oposto do quadrado, ou seja em (L,L). A carga \mathbf{Q} é colocada à direita de P, sobre o eixo x, a uma distância \mathbf{L} de P; isto é, \mathbf{Q} está em (2L,L). (Então a distância de \mathbf{Q} até P é exatamente L, conforme enunciado.)

Passo 2

Vamos escrever a expressão do potencial elétrico total no ponto P. Potencial é uma grandeza escalar; somamos as contribuições das duas hastes e da carga pontual \mathbf{Q}. A condição para o potencial total em P ser zero é
V_{\text{hastes}}(P) + V_{Q}(P) = 0.
Explicando o que é cada termo:
  • V_{\text{hastes}}(P) é a soma dos potenciais no ponto P devido a cada uma das hastes (cada haste tem carga total q distribuída uniformemente).
  • V_{Q}(P) é o potencial devido à carga pontual \mathbf{Q} situada à distância L de P, dado por V_{Q}(P)=k\,\dfrac{Q}{L}. Aqui k é a constante de Coulomb e L é a distância da carga \mathbf{Q} até P.

Passo 3

Agora calculamos V_{\text{hastes}}(P). Tomemos primeiro a haste horizontal (de x=0 a x=L no eixo y=0). Seja \lambda a densidade linear de carga da haste:
\lambda=\dfrac{q}{L}.
Considere um elemento de comprimento dx localizado em x (com carga dq=\lambda\,dx). A distância desse elemento até P(L,L) é
r(x)=\sqrt{(L-x)^{2}+L^{2}}.
A contribuição de potencial desse elemento em P (com sinal positivo se dq for positivo) é dV=k\,\dfrac{dq}{r(x)}=k\,\dfrac{\lambda\,dx}{\sqrt{(L-x)^{2}+L^{2}}}.
Para obter o potencial total da haste, integramos x de 0 a L:
V_{\text{h,\,uma haste}}=k\lambda\int_{0}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{(L-x)^{2}+L^{2}}}.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável útil u=L-x. Quando x=0 temos u=L e quando x=L temos u=0. A integral fica
V_{\text{h,\,uma haste}}=k\lambda\int_{u=L}^{u=0}\dfrac{-du}{\sqrt{u^{2}+L^{2}}} = k\lambda\int_{0}^{L}\dfrac{du}{\sqrt{u^{2}+L^{2}}}.
Agora usamos a primitiva conhecida (ou mostramos rapidamente): para a>0,
\int \dfrac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr)+C.
Aplicando com a=L e os limites de 0 a L, obtemos
\begin{aligned} V_{\text{h,\,uma haste}} &=k\lambda\left[\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+L^{2}}\bigr)\right]_{0}^{L}\\[4pt] &=k\lambda\left(\ln\bigl(L+\sqrt{L^{2}+L^{2}}\bigr)-\ln\bigl(0+\sqrt{0+L^{2}}\bigr)\right)\\[4pt] &=k\lambda\left(\ln\bigl(L+\sqrt{2}\,L\bigr)-\ln\bigl(L\bigr)\right)\\[4pt] &=k\lambda\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr). \end{aligned}]

Passo 5

As duas hastes são idênticas (mesmo comprimento e mesma carga total q) e contribuem com o mesmo potencial em P. Logo a contribuição total das duas hastes é
V_{\text{hastes}}(P)=2\cdot V_{\text{h,\,uma haste}}=2k\lambda\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr).
Substituindo \lambda=\dfrac{q}{L},
V_{\text{hastes}}(P)=2k\frac{q}{L}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr).

Passo 6

Agora impomos a condição de anulamento do potencial total em P:
V_{\text{hastes}}(P)+V_{Q}(P)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2k\frac{q}{L}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr)+k\frac{Q}{L}=0.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{L}{k} obtemos:
2q\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr)+Q=0.
Logo isolamos Q:
Q=-2q\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\,\bigr).
Observe que o resultado não depende de k nem de L (eles se cancelam): isto é uma simplificação elegante típica deste tipo de problema.

Passo 7

Agora substituímos numericamente com as regras do enunciado (usar duas casas decimais em notação científica para as operações). Vamos arredondar os valores intermediários:
  • \displaystyle q=\:8{,}00\times10^{0}\\ \mathrm{C}.
  • \displaystyle \sqrt{2}\approx 1{,}41\times10^{0}. (duas casas decimais)
  • \displaystyle 1+\sqrt{2}\approx 2{,}41\times10^{0}.
  • \displaystyle \ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\approx 8{,}80\times10^{-1}. (duas casas decimais: 0{,}88)
Agora calcule Q:
\begin{aligned} Q &=-2\cdot(8{,}00\times10^{0})\cdot(8{,}80\times10^{-1})\\[4pt] &=-2\cdot 8{,}00\cdot 0{,}88 \times 10^{0+(-1)}\\[4pt] &=-(16{,}00\cdot 0{,}88)\times10^{-1}\\[4pt] &=-(14{,}08)\times10^{-1}\\[4pt] &\approx -1{,}41\times10^{1}\\ \mathrm{C}. \end{aligned}
Com duas casas decimais em notação científica, isto corresponde a -1{,}41\times10^{1}\\ \mathrm{C}, ou seja aproximadamente -14{,}10\\ \mathrm{C}.]

Resposta

-1{,}41\times10^{1}\\ \mathrm{C}

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