Questão 2 [
pontos]: Uma esfera condutora de carga
e raio
é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno
, raio externo
e densidade volumétrica de carga
. Use a constante da Lei de Coulomb como
e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o módulo do campo elétrico a uma distância
do centro da montagem esférica.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
constante de Coulomb
Observação: devo apresentar cálculos usando duas casas decimais em notação científica.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para pontos fora da casca esférica (isto é, para
) a distribuição esférica de carga se comporta, em termos de campo elétrico externo, como se toda a carga total estivesse concentrada no centro. Portanto o módulo do campo elétrico em distância
do centro é dado por
onde
é a carga total contida dentro da esfera de raio
. Aqui
, com
obtida integrando a densidade volumétrica na casca. Vou explicar como calcular
por integração.
Passo 3
Volume elementar em coordenadas esféricas (para integrais radiais com simetria esférica) é
Assim o elemento de carga da casca entre
e
é
Portanto a carga total na casca é
Passo 4
Calculo da integral: integrar
dá
. Logo
Passo 5
Avaliação numérica das potências (apresentadas em notação científica com duas casas decimais):
Diferença:
(Observe que
é muito menor que
, por isso a diferença fica, com duas casas decimais, igual a
.)
Passo 6
Calcular o fator constante e multiplicar (tudo em notação científica com duas casas decimais):
Assim
Passo 7
Carga total encerrada:
(Em notação com duas casas decimais, a contribuição de
é desprezível diante de
.)
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula do campo para
. Primeiro escrevo
em notação científica:
Produto
:
Dividindo por
:
Passo 9
Interpretação curta e incentivo: o campo ficou enorme porque a densidade volumétrica cresce muito com
, então a casca acumula muita carga. Você fez bem em pedir uma resolução passo a passo — integrar a densidade com o elemento de volume esférico e depois usar a forma
é o procedimento que cai na prova. Vai com calma, repasse esses passos e pratique uma ou duas integrais semelhantes para fixar.