Questão 2 [ \mathbf{3 , 0} pontos]: Uma esfera condutora de carga \mathbf{q}_{0}=\mathbf{1 6} \mathbf{C} e raio \mathbf{R}_{1}=\mathbf{2 , 0} \mathbf{m} é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno \mathbf{R}_{1}, raio externo \mathbf{R}_{2}=\mathbf{5 , 2} \mathbf{m} e densidade volumétrica de carga \rho(r) =\mathbf{4 r}^{6}\left(\mathbf{C} / \mathbf{m}^{3}\right). Use a constante da Lei de Coulomb como \mathbf{k}=\mathbf{8 , 9 9} \times \mathbf{1 0}^{9} \mathbf{N} . \mathbf{m}^{2} / \mathbf{C}^{2}, \varepsilon_{0}=\mathbf{8 , 8 5} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 2}} \mathbf{C}^{\mathbf{2}} /\left(\mathbf{N m}^{\mathbf{2}}\right) e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Determine o módulo do campo elétrico a uma distância \mathbf{r}=\mathbf{1 8} \mathbf{~ m} do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o módulo do campo elétrico a uma distância \,r=18\\ \text{m}\, do centro da montagem esférica.
Dados fornecidos:
q_{0}=16\\ \text{C},
R_{1}=2{,}0\\ \text{m},\quad R_{2}=5{,}2\\ \text{m},
\rho(r)=4\,r^{6}\\ \left(\text{C}/\text{m}^{3}\right),
constante de Coulomb
k=8{,}99\times10^{9}\\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{C}^{2},
\varepsilon_{0} foi dada mas não é necessária para o cálculo pedido.
Observação: devo apresentar cálculos usando duas casas decimais em notação científica.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para pontos fora da casca esférica (isto é, para \,r>R_{2}\,) a distribuição esférica de carga se comporta, em termos de campo elétrico externo, como se toda a carga total estivesse concentrada no centro. Portanto o módulo do campo elétrico em distância \,r do centro é dado por
E=\frac{k\,Q_{\text{enc}}}{r^{2}},
onde \,Q_{\text{enc}}\, é a carga total contida dentro da esfera de raio r. Aqui \,Q_{\text{enc}}=q_{0}+Q_{\text{casca}}\,, com Q_{\text{casca}} obtida integrando a densidade volumétrica na casca. Vou explicar como calcular Q_{\text{casca}} por integração.

Passo 3

Volume elementar em coordenadas esféricas (para integrais radiais com simetria esférica) é
dV=4\pi r^{2}\,dr.
Assim o elemento de carga da casca entre r e r+dr é
dQ=\rho(r)\,dV = \bigl(4 r^{6}\bigr)\bigl(4\pi r^{2}\,dr\bigr)=16\pi\,r^{8}\,dr.
Portanto a carga total na casca é
Q_{\text{casca}}=\int_{R_{1}}^{R_{2}}16\pi\,r^{8}\,dr.

Passo 4

Calculo da integral: integrar r^{8} r^{9}/9. Logo
Q_{\text{casca}}=16\pi\left[\frac{r^{9}}{9}\right]_{R_{1}}^{R_{2}} =\frac{16\pi}{9}\bigl(R_{2}^{9}-R_{1}^{9}\bigr).

Passo 5

Avaliação numérica das potências (apresentadas em notação científica com duas casas decimais):
R_{2}^{9} = 5{,}2^{9} \approx 2{,}78\times10^{6},
R_{1}^{9} = 2{,}0^{9} = 5{,}12\times10^{2}.
Diferença:
R_{2}^{9}-R_{1}^{9}\approx 2{,}78\times10^{6} - 5{,}12\times10^{2}\approx 2{,}78\times10^{6}.
(Observe que R_{1}^{9} é muito menor que R_{2}^{9}, por isso a diferença fica, com duas casas decimais, igual a 2{,}78\times10^{6}.)

Passo 6

Calcular o fator constante e multiplicar (tudo em notação científica com duas casas decimais):
\frac{16\pi}{9}\approx 5{,}59\times10^{0}.
Assim
Q_{\text{casca}}\approx \bigl(5{,}59\times10^{0}\bigr)\bigl(2{,}78\times10^{6}\bigr) = \bigl(5{,}59\cdot2{,}78\bigr)\times10^{6} \approx 1{,}55\times10^{7}\\ \text{C}.

Passo 7

Carga total encerrada:
q_{0}=16\\ \text{C}=1{,}60\times10^{1}\\ \text{C},
Q_{\text{enc}}=q_{0}+Q_{\text{casca}}\approx 1{,}60\times10^{1}+1{,}55\times10^{7}\approx 1{,}55\times10^{7}\\ \text{C}.
(Em notação com duas casas decimais, a contribuição de q_{0} é desprezível diante de Q_{\text{casca}}.)

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula do campo para r=18\\ \text{m}. Primeiro escrevo r^{2} em notação científica:
r^{2}=18^{2}=324=3{,}24\times10^{2}.
Produto k\,Q_{\text{enc}}:
k\,Q_{\text{enc}}\approx \bigl(8{,}99\times10^{9}\bigr)\bigl(1{,}55\times10^{7}\bigr) =\bigl(8{,}99\cdot1{,}55\bigr)\times10^{16} \approx 1{,}39\times10^{17}.
Dividindo por r^{2}:
E=\frac{k\,Q_{\text{enc}}}{r^{2}}\approx \frac{1{,}39\times10^{17}}{3{,}24\times10^{2}} =\left(\frac{1{,}39}{3{,}24}\right)\times10^{15} \approx 4{,}31\times10^{14}\\ \text{N/C}.

Passo 9

Interpretação curta e incentivo: o campo ficou enorme porque a densidade volumétrica cresce muito com r^{6}, então a casca acumula muita carga. Você fez bem em pedir uma resolução passo a passo — integrar a densidade com o elemento de volume esférico e depois usar a forma E=kQ/r^{2} é o procedimento que cai na prova. Vai com calma, repasse esses passos e pratique uma ou duas integrais semelhantes para fixar.

Resposta

\;E=4{,}31\times10^{14}\\ \text{N/C}

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