Demonstre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} f=0

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a identidade
\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f = \vec{0},
ou seja, que o rotacional (curl) do gradiente de uma função escalar f é o vetor nulo.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função f é suficientemente suave (especificamente, tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas) em uma região onde vamos trabalhar.

Passo 2

Definamos cuidadosamente os operadores envolvidos e o que significam as notações que usaremos.
Definição do gradiente: para uma função escalar f(x,y,z),
\vec{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui cada componente é a derivada parcial de f em relação à variável indicada; por exemplo \frac{\partial f}{\partial x} significa “derivar f mantendo y e z fixos”.
Definição do rotacional (curl): para um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z),
\vec{\nabla}\times\vec{F}= \left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right).
Essa expressão é a forma componente a componente do rotacional: cada componente do vetor resultante é a diferença de duas derivadas parciais de componentes apropriadas de \vec{F}.

Passo 3

Aplicando as definições: tomemos \vec{F}=\vec{\nabla} f. Então as componentes de \vec{F} são
F_x=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad F_y=\frac{\partial f}{\partial y},\qquad F_z=\frac{\partial f}{\partial z}.
Substituímos essas expressões na fórmula do rotacional do passo anterior.

Passo 4

Calculemos cada componente de \vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f explicitamente.
Componente x:
\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_x = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y}.
Componente y:
\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_y = \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) - \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial z}.
Componente z:
\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_z = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}.

Passo 5

Agora precisamos usar um resultado sobre derivadas parciais de segunda ordem: se f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança (ou seja, f\in C^2 nessa região), então as derivadas mistas são iguais; isto é, para qualquer par de variáveis u,v valem
\frac{\partial^2 f}{\partial u\,\partial v} = \frac{\partial^2 f}{\partial v\,\partial u}.
Esse resultado é conhecido como teorema de Clairaut (ou igualdade das derivadas mistas sob hipóteses de continuidade das segundas derivadas).
Aplicando isso às expressões das componentes do passo anterior, cada diferença de derivadas mistas é zero. Logo
\bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_x = 0,\qquad \bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_y = 0,\qquad \bigl(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f\bigr)_z = 0.

Passo 6

Concluímos que todas as componentes de \vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f são nulas, portanto o rotacional do gradiente é o vetor nulo:
\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f = \vec{0}.
Interpretação rápida (para te motivar na prova): isso diz que campos que são gradientes são “irrotacionais” — não têm rotação local. Mas atenção: a condição f\in C^2 é importante; sem continuidade das segundas derivadas a igualdade das mistas pode falhar.

Resposta

\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} f=\vec{0}

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