Questão 2: ( \mathbf{4 0} Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
c) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsen}\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big).
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é composta: primeiro calcula-se \sqrt{x^{2}+1} e depois aplica-se \operatorname{arcsen} (arco-seno).
  • O objetivo é encontrar f'(x) (a derivada em relação a x), e simplificar o resultado.

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar): aplicar a regra da cadeia para funções compostas. Vou explicar a regra da cadeia de forma didática.
Regra da cadeia (explicação): se f(x)=g(h(x)), isto é, f é a composição de g com h, então a derivada é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Aqui h(x) é a função interna (aquela que aparece primeiro) e g(u) é a função externa (aquela aplicada sobre u=h(x)). Em palavras: derivar por fora mantendo dentro, e multiplicar pela derivada da parte dentro.
No nosso caso tomo
u(x)=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{1/2},\qquad g(u)=\operatorname{arcsen}(u),
logo f(x)=g(u(x)) e
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 3

Derivada da função externa g(u)=\operatorname{arcsen}(u) (aulas rápidas sobre derivada do arco-seno):
  • Definição útil: se y=\operatorname{arcsen}(u) então u=\sin y.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u): \dfrac{du}{du}= \cos y\cdot \dfrac{dy}{du}, ou seja 1=\cos y\cdot \dfrac{dy}{du}.
  • Assim \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{\cos y}. Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}} (escolhe-se o sinal positivo no intervalo principal do arco-seno), obtemos
g'(u)=\frac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\qquad \text{válido quando }-1<u<1.á
Observação importante sobre domínio: essa fórmula só faz sentido real quando u\in(-1,1) (ou nas extremidades \pm1 deve-se ter cuidado com continuidade/derivabilidade). Vou tratar do domínio completo depois.

Passo 4

Derivada da função interna u(x)= (x^{2}+1)^{1/2}:
  • Usando a regra da potência combinada com a regra da cadeia:
u'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Explicando devagar: a derivada de t^{1/2} em relação a t é \tfrac{1}{2}t^{-1/2}; aqui t=x^{2}+1, e \dfrac{dt}{dx}=2x. Multiplica-se tudo e simplifica.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia e substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora simplificamos a expressão interna:
\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}=x^{2}+1,
portanto
1-\big(\sqrt{x^{2}+1}\big)^{2}=1-(x^{2}+1)=-x^{2}.
Logo a raiz no denominador fica \sqrt{-x^{2}}. Em termos algébricos,
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{-x^{2}}\;\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 6

Interpretação final e observação sobre domínio — ponto crucial (leitura amiga e honesta):
  • Para a derivada de \operatorname{arcsen}(u) ser válida como número real precisamos que u\in[-1,1].
  • Aqui u(x)=\sqrt{x^{2}+1}. Mas \sqrt{x^{2}+1}\ge 1 para todo x, e \sqrt{x^{2}+1}=1 somente quando x=0. Para x\neq 0 temos \sqrt{x^{2}+1}>1, ou seja o argumento de \operatorname{arcsen} está fora do intervalo [-1,1] e \operatorname{arcsen} não é definida como função real ali.
  • Conclusão: como função real, f(x)=\operatorname{arcsen}\!\big(\sqrt{x^{2}+1}\,\big) está definida apenas em x=0 (onde o valor é \operatorname{arcsen}(1)=\tfrac{\pi}{2}). Não existe um intervalo aberto ao redor de 0 no qual f esteja definida; portanto não faz sentido falar em derivada real em x=0 (a derivada exige limites com pontos distintos de x no domínio, isto é, uma vizinhança).
  • Consequentemente, não existe derivada real de f em nenhum ponto de \mathbb{R}.
Observação extra (se alguém quiser trabalhar no campo complexo): a expressão formal que obtivemos pode ser manipulada e leva a fatores com \sqrt{-x^{2}}=i|x|, produzindo derivadas complexas, mas isso foge do escopo usual de cálculo real.

Resposta

A função f é definida como função real apenas em x=0, portanto f não é diferenciável em nenhum ponto de \mathbb{R} (a derivada real não existe).

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