Questão 2: (
Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
c) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)
c) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
- A função é composta: primeiro calcula-se
e depois aplica-se (arco-seno). - O objetivo é encontrar
(a derivada em relação a ), e simplificar o resultado.
Passo 2
Estratégia (o que vamos usar): aplicar a regra da cadeia para funções compostas. Vou explicar a regra da cadeia de forma didática.
Regra da cadeia (explicação): se
, isto é,
é a composição de
com
, então a derivada é
Aqui
é a função interna (aquela que aparece primeiro) e
é a função externa (aquela aplicada sobre
). Em palavras: derivar por fora mantendo dentro, e multiplicar pela derivada da parte dentro.
No nosso caso tomo
logo
e
Passo 3
Derivada da função externa
(aulas rápidas sobre derivada do arco-seno):
- Definição útil: se
então . - Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando como função de ): , ou seja . - Assim
. Como (escolhe-se o sinal positivo no intervalo principal do arco-seno), obtemos
Observação importante sobre domínio: essa fórmula só faz sentido real quando
(ou nas extremidades
deve-se ter cuidado com continuidade/derivabilidade). Vou tratar do domínio completo depois.
Passo 4
Derivada da função interna
:
- Usando a regra da potência combinada com a regra da cadeia:
Explicando devagar: a derivada de
em relação a
é
; aqui
, e
. Multiplica-se tudo e simplifica.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia e substituindo
e
:
Agora simplificamos a expressão interna:
portanto
Logo a raiz no denominador fica
. Em termos algébricos,
Passo 6
Interpretação final e observação sobre domínio — ponto crucial (leitura amiga e honesta):
- Para a derivada de
ser válida como número real precisamos que . - Aqui
. Mas para todo , e somente quando . Para temos , ou seja o argumento de está fora do intervalo e não é definida como função real ali. - Conclusão: como função real,
está definida apenas em (onde o valor é ). Não existe um intervalo aberto ao redor de no qual esteja definida; portanto não faz sentido falar em derivada real em (a derivada exige limites com pontos distintos de no domínio, isto é, uma vizinhança). - Consequentemente, não existe derivada real de
em nenhum ponto de .
Observação extra (se alguém quiser trabalhar no campo complexo): a expressão formal que obtivemos pode ser manipulada e leva a fatores com
, produzindo derivadas complexas, mas isso foge do escopo usual de cálculo real.
Resposta
A função
é definida como função real apenas em
, portanto
não é diferenciável em nenhum ponto de
(a derivada real não existe).