Utilizando o Exercício 2, calcule.
\int \cos ^{3} x(1+\sqrt{\operatorname{sen} x}) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{3}x\bigl(1+\sqrt{\sin x}\bigr)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é \cos^{3}x(1+\sqrt{\sin x}).
  • Aparece \cos^{3}x (ou seja, \cos x ao cubo) e \sqrt{\sin x}=\sin^{1/2}x.
  • A incógnita da integral é x.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Observação estratégica (sem resolver ainda): quando vemos \cos^{3}x é comum separar um fator \cos x e escrever \cos^{3}x=\cos^{2}x\cdot\cos x. Isso é útil porque a derivada de \sin x é \cos x, então podemos tentar a substituição que transforme \cos x\,dx em du. Vou aplicar essa ideia a seguir.

Passo 3

Escrevendo \cos^{3}x como \cos^{2}x\cdot\cos x e usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x=1-\sin^{2}x, temos
\cos^{3}x\,dx=(1-\sin^{2}x)\cos x\,dx.
Agora faço a substituição
u=\sin x.
Explicando: escolhemos u=\sin x porque então du=\cos x\,dx, e esse fator \cos x\,dx aparece na expressão acima, o que facilita a troca de variável.

Passo 4

Com u=\sin x e du=\cos x\,dx, a integral original se transforma em
\int (1-u^{2})\bigl(1+u^{1/2}\bigr)\,du.
Agora vou multiplicar os fatores para integrar termo a termo:
(1-u^{2})(1+u^{1/2})=1+u^{1/2}-u^{2}-u^{5/2}.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrete da regra básica de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Vou aplicar essa regra a cada termo:
  • \displaystyle \int 1\,du = u.
  • \displaystyle \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • \displaystyle \int (-u^{2})\,du = -\frac{u^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int (-u^{5/2})\,du = -\frac{u^{7/2}}{7/2}=-\frac{2}{7}u^{7/2}.

Passo 6

Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada em u:
u+\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{1}{3}u^{3}-\frac{2}{7}u^{7/2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Volto à variável x usando u=\sin x. Assim a primitiva da integral original é
\sin x+\frac{2}{3}\sin^{3/2}x-\frac{1}{3}\sin^{3}x-\frac{2}{7}\sin^{7/2}x+C.
Dica rápida para checar na prova: derivando essa expressão deve-se recuperar \cos^{3}x(1+\sqrt{\sin x}) (a derivada de \sin^{k}x traz um fator k\sin^{k-1}x\cos x, e combinando termwise retorna o integrando).

Resposta

\sin x+\dfrac{2}{3}\sin^{3/2}x-\dfrac{1}{3}\sin^{3}x-\dfrac{2}{7}\sin^{7/2}x+C

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