Utilizando o Exercício 2, calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. - Aparece
(ou seja, ao cubo) e . - A incógnita da integral é
.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Observação estratégica (sem resolver ainda): quando vemos
é comum separar um fator
e escrever
. Isso é útil porque a derivada de
é
, então podemos tentar a substituição que transforme
em
. Vou aplicar essa ideia a seguir.
Passo 3
Escrevendo
como
e usando a identidade trigonométrica
, temos
Agora faço a substituição
Explicando: escolhemos
porque então
, e esse fator
aparece na expressão acima, o que facilita a troca de variável.
Passo 4
Com
e
, a integral original se transforma em
Agora vou multiplicar os fatores para integrar termo a termo:
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrete da regra básica de potência para integrais: para
,
Vou aplicar essa regra a cada termo:
Passo 6
Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Volto à variável
usando
. Assim a primitiva da integral original é
Dica rápida para checar na prova: derivando essa expressão deve-se recuperar
(a derivada de
traz um fator
, e combinando termwise retorna o integrando).