Questão 2. O conjunto de dados a seguir é referente a longevidade (tempo de vida típico), em anos, para 40 espécies de maníferos. Com base nestes dados:
1 3 4 5 5 5 6 7 7 8
8 10 10 10 12 12 12 12 12 12
12 12 12 15 15 15 15 15 15 15
16 18 20 20 20 20 20 25 25 40
( 2,0 \mathrm{pt}.) construa a tabela de distribuição de frequência com as frequências simples absoluta, frequências simples relativa, frequências acumulada e frequências relativa acumulada, considerando as seguintes classes: 1 \vdash 7 ; 7 \vdash 13 ; 13 \vdash 19 ; 19 \vdash 25 ; 25 \vdash 31 ; 31 \vdash 37 ; 37 \vdash 43.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 40 observações da longevidade (anos) de mamíferos, listadas em ordem (quatro linhas). As classes pedidas são:
1\vdash7,\quad 7\vdash13,\quad 13\vdash19,\quad 19\vdash25,\quad 25\vdash31,\quad 31\vdash37,\quad 37\vdash43.
O que se pede: construir a tabela de distribuição de frequência com
  • frequência simples absoluta (contagem) f_i,
  • frequência simples relativa (proporção) f_i/n,
  • frequência acumulada absoluta F_i,
  • frequência relativa acumulada F_{r_i}.
    Dados relevantes (tirados do enunciado): a lista completa dos 40 valores (copiados da tabela do enunciado).

Passo 2

Primeiro vou adotar uma convenção para as classes que evita ambiguidade nas fronteiras: cada classe será aberta à direita e fechada à esquerda, ou seja, usarei as classes no formato [a,b) (inclui a, exclui b), exceto a última que contém o limite superior. Isso evita contar um valor duas vezes quando ele coincide com uma fronteira (por exemplo, o valor 7 entra em [7,13), não em [1,7)). Portanto interpreto as:
[1,7),\\ [7,13),\\ [13,19),\\ [19,25),\\ [25,31),\\ [31,37),\\ [37,43).
Explicação rápida de conceitos:
  • Frequência absoluta f_i: número de observações da amostra que caem na classe i.
  • Frequência relativa f_i/n: f_i dividido pelo total n (aqui n=40); é a proporção da amostra naquela classe.
  • Frequência acumulada F_i: soma das frequências absolutas das classes até a classe i.
  • Frequência relativa acumulada F_{r_i}: soma das frequências relativas até a classe i. Note que F_{r_{\text{última}}}=1ú.

Passo 3

Contagem na primeira classe [1,7) — incluem-se os valores inteiros 1,2,3,4,5,6. Observando os dados do enunciado, os valores que caem aqui são:
1,\\\ 3,\\\ 4,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 5,\\\ 6.
Contagem:
f_1 = 7.

Passo 4

Contagem na segunda classe [7,13) — incluem-se 7,8,9,10,11,12. Dos dados, caem aqui:
7,7,8,8,10,10,10 e todas as ocorrências de 12 (há 9 vezes o valor 12 no conjunto).
Somando:
f_2 = 2 + 2 + 3 + 9 = 16.

Passo 5

Contagem na terceira classe [13,19) — incluem-se 13,14,15,16,17,18. Dos dados, caem aqui:
os sete 15s, o 16 e o 18.
Logo
f_3 = 7 + 1 + 1 = 9.

Passo 6

Contagem na quarta classe [19,25) — incluem-se 19,20,21,22,23,24. Dos dados, caem aqui os cinco 20s:
f_4 = 5.

Passo 7

Contagem na quinta classe [25,31) — incluem-se 25,26,27,28,29,30. Dos dados, caem aqui os dois 25s:
f_5 = 2.

Passo 8

Contagem na sexta classe [31,37) — incluem-se 31,\dots,36. Não há observações nessa faixa segundo os dados:
f_6 = 0.

Passo 9

Contagem na sétima classe [37,43) — incluem-se 37,\dots,42. Dos dados, só cai aqui o 40 (uma vez):
f_7 = 1.

Passo 10

Verificação da soma das frequências absolutas:
\sum_{i=1}^{7} f_i = 7 + 16 + 9 + 5 + 2 + 0 + 1 = 40,
que confere com n=40.

Passo 11

Cálculo das frequências relativas r_i = f_i/n (vou mostrar como fração e como decimal com vírgula, usando n=40):
r_1 = \frac{7}{40} = 0,175,
r_2 = \frac{16}{40} = 0,4,
r_3 = \frac{9}{40} = 0,225,
r_4 = \frac{5}{40} = 0,125,
r_5 = \frac{2}{40} = 0,05,
r_6 = \frac{0}{40} = 0,
r_7 = \frac{1}{40} = 0,025.
Verificação: 0,175+0,4+0,225+0,125+0,05+0+0,025=1,0.

Passo 12

Cálculo das frequências acumuladas absolutas F_i (soma progressiva de f_i):
F_1 = 7,
F_2 = 7+16 = 23,
F_3 = 23+9 = 32,
F_4 = 32+5 = 37,
F_5 = 37+2 = 39,
F_6 = 39+0 = 39,
F_7 = 39+1 = 40.

Passo 13

Cálculo das frequências relativas acumuladas F_{r_i} (soma progressiva de r_i):
F_{r_1} = 0,175,
F_{r_2} = 0,175 + 0,4 = 0,575,
F_{r_3} = 0,575 + 0,225 = 0,800,
F_{r_4} = 0,800 + 0,125 = 0,925,
F_{r_5} = 0,925 + 0,05 = 0,975,
F_{r_6} = 0,975 + 0 = 0,975,
F_{r_7} = 0,975 + 0,025 = 1,000.

Resposta

[1,7): f=7, fr=\dfrac{7}{40}=0,175, F=7, Fr=0,175
[7,13): f=16, fr=\dfrac{16}{40}=0,4, F=23, Fr=0,575
[13,19): f=9, fr=\dfrac{9}{40}=0,225, F=32, Fr=0,800
[19,25): f=5, fr=\dfrac{5}{40}=0,125, F=37, Fr=0,925
[25,31): f=2, fr=\dfrac{2}{40}=0,05, F=39, Fr=0,975
[31,37): f=0, fr=\dfrac{0}{40}=0, F=39, Fr=0,975
[37,43): f=1, fr=\dfrac{1}{40}=0,025, F=40, Fr=1,000

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